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文档简介

1 柱面坐标系 球面坐标系 重积分计算的基本方法 累次积分法 2 第四节 一 平面图形的面积及立体体积 二 曲面的面积 三 物体的质心 四 物体的转动惯量 五 物体的引力 重积分的应用 第十章 3 例 设 由锥面 计算 的体积 解法1 解法2 4 1 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 分布在有界闭域上的整体量 2 用重积分解决问题的方法 元素法 问题 满足什么条件的量可用重积分解决 5 元素法的步骤 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 元素法也可推广到三重积分上 8 a b x y 9 3 设曲面的方程为 曲面面积公式为 2 设曲面的方程为 曲面面积公式为 同理可得 曲面面积公式为 即1 设曲面的方程为 10 解 P175T1 例1 求球面 含在圆柱体 内部的那部分面积 曲面方程 由对称性知 11 所求面积为 12 例2 求半径为a的球的表面积 解 取直角坐标系 使上半球面 的方程为 则上半球面在xoy面上的 投影区域D可表示为 由 得 13 上不连续 这是反常的二重积分 所以先取区域 令 面积 14 利用极坐标 得 故 即为半球面的面积 因此整个球面的面积为 15 三 物理应用 16 则得 则薄片的质心坐标为 17 因闭区域D关于y轴对称 所以质心必在y轴上 于是 解 18 19 古鲁金第二定理 平面有界闭区域D绕该平面内不与它相交的直线旋转而成的旋转体 其体积等于D的面积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积 证明 用元素法 如图 设D绕x轴旋转 旋转体的体积为 由于D的形心坐标为 故 20 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和 故 连续体的转动惯量可用积分计算 21 得 22 例4 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量 解 建立坐标系如图 半圆薄片的质量 D 23 24 25 26 G为引力常数 推广到空间立体 设物体占有空间区域 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法 得 其密度函数 27 小结 曲面面积公式为 设曲面的方程为 28 四 物理应用 2 平面薄
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