2013北师大版选修1-2第三章　推理与证明综合检测题及答案解析.doc

综合检测(三)第三章推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，推出三角形的内角和是180；ab，bc，则ac；X k B 1 . c o m三角形内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得凸n边形的内角和是(n2)180ABC D【解析】是类比推理，与是归纳推理，是演绎推理【答案】C2有一段演绎推理是这样的：有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数结论显然是错误的，是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误【解析】“整数”不是这里的“自然有理数”，故推理形式错误【答案】C3数列1,3,6,10，的一个通项公式是()Aann2n1 BanCan Dn21【解析】由1，3，6，10，可归纳出an.【答案】C4下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A BC D【解析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理的特征判断【答案】D5在十进制中2 0044100010101022103，那么在五进制中数码2 004折合成十进制为()A29 B254C602 D2 004【解析】2 004(5)450051052253254.【答案】B6计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示ED1B，则AB等于()A6E B72C5F DB0【解析】AB1011110616146E.【答案】A7设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 013(x)()Asin x Bsin xCcos x Dcos x【解析】f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，又2 01350341，则f2 013(x)cos x.【答案】C8用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数时”下列条件假设中正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c中至多有一个偶数D假设a，b，c中至多有两个偶数【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”【答案】B9平面上有n条直线，其中任意的两条不平行，任意三条不共点f(k)表示nk时平面被分成的区域数，则f(k1)f(k1)()A2k B2k1Ck1 Dk2【解析】由f(k1)f(k1)k(k1)，得f(k1)f(k1)2k1.【答案】B10有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖了”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是()A甲 B乙C丙 D丁【解析】甲乙丙丁甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖由上表可知：获奖歌手是丙【答案】C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上)11观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形图1【解析】第6个图中小正方形个数为33456728.【答案】2812若P0(x0，y0)在椭圆1外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则直线P1P2(称为切点弦P1P2)的方程是1.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的直线方程是_【解析】 由类比可得，直线P1P2的方程是1.【答案】113如abab，则a，b应满足的条件是_【解析】ababa()b()0()2()0()20a0，b0且ab.【答案】a0，b0且ab14已知cos ，cos cos ，cos cos cos ，根据以上等式，可猜想出的一般结论是_【解析】由归纳推理得，cos cos cos cos .【答案】cos cos cos cos 15半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r.式可用语言叙述为：圆的周长函数是圆的面积函数的导函数，对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_；式可用语言叙述为_【解析】将圆类比球可得：(r3)4r2，可用语言叙述为球的表面积函数是球的体积函数的导函数【答案】(r3)4r2球的表面积函数是球的体积函数的导函数三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)设x1，y1，证明xyxy.【证明】由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0.从而所要证明的不等式成立17(本小题满分12分)已知a0，求证： a2.【证明】要证 a2，只需证 2a.因为a0，只需证( 2)2(a)2，即a244a222(a)2，从而只需证2(a)，只需证4(a2)2(a22)，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立18(本小题满分12分)证明：，不能为同一等差数列的三项【证明】假设，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足md，nd.w W w . X k b 1.c O mnm得：nm(nm)，两边平方得：3n25m22mn2(nm)2.左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数，所以，假设不正确即，不能为同一等差数列的三项19(本小题满分13分)自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN，且x10.不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与x成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.(1)求xn1与xn的关系式；(2)猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)【解】(1)从第n年年初到第n1年年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cx，因此xn1xnaxnbxncx，nN*，(*)即xn1xn(ab1cxn)，nN*.(*)(2)若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，nN*，从而由(*)式得xn(abcxn)恒等于0，nN*，所以abcx10.即x1.因为x10，所以ab.猜测：当且仅当ab，且x1时，每年年初鱼群的总量保持不变20(本小题满分13分)已知，为锐角，且2.求证：.【证明】设f(x)，x(0，)，显然f(x)为单调减函数，为锐角，0，0.xKb 1. Co m f()2，f()2，即f()f()，又f(x)在x(0，)上单调递减，.21(本小题满分13分)(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin