高中数学第二章空间向量与立体几何3_1空间向量的标准正交分解与坐标表示3_2空间向量基本定理课件北师大版选修2_11

3 1空间向量的标准正交分解与坐标表示3 2空间向量基本定理 学习目标1 理解空间向量基本定理 并能用基本定理解决一些几何问题 2 理解基底 基向量及向量的线性组合的概念 3 掌握空间向量的坐标表示 能在适当的坐标系中写出向量的坐标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间向量基本定理 思考1 平面向量基本定理的内容是什么 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的e1 e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 答案 思考2 平面向量的基底唯一确定吗 不唯一 答案 梳理 1 空间向量基本定理 2 基底条件 三个向量e1 e2 e3 结论 e1 e2 e3叫作空间的一个基底 基向量 基底中的向量e1 e2 e3都叫作基向量 不共面 不共面 任一 知识点二空间向量的坐标表示 思考1 平面向量的坐标是如何表示的 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 由平面向量基本定理可知 有且只有一对实数x y 使a xi yj 这样 平面内的任一向量a都可由x y唯一确定 我们把有序实数对 x y 叫作向量a的坐标 记作a x y 其中x叫作a在x轴上的坐标 y叫作a在y轴上的坐标 答案 思考2 基底不同 向量的坐标相同吗 不相同 答案 梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示 垂直 单位 e1 e2 e3 标准正交分解 标准正交基 题型探究 类型一基底的概念 例1若 a b c 是空间的一个基底 试判断 a b b c c a 能否作为该空间的一个基底 解答 假设a b b c c a共面 则存在实数 使得a b b c c a a b b a c a b c 为基底 a b c不共面 a b b c c a不共面 a b b c c a 可以作为空间的一个基底 基底判断的基本思路及方法 1 基本思路 判断三个空间向量是否共面 若共面 则不能构成基底 若不共面 则能构成基底 2 方法 如果向量中存在零向量 则不能作为基底 如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示 则不能构成基底 假设a b c 运用空间向量基本定理 建立 的方程组 若有解 则共面 不能作为基底 若无解 则不共面 能作为基底 反思与感悟 跟踪训练1 1 已知a b c是不共面的三个非零向量 则可以与向量p a b q a b构成基底的向量是A 2aB 2bC 2a 3bD 2a 5c 答案 2 以下四个命题中正确的是 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 若 a b c 为空间的一个基底 则a b c全不是零向量 如果向量a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则一定有a与b共线 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 答案 解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示 故 不正确 正确 由空间向量基本定理可知 只有不共线的两向量才可以作基底 故 正确 空间向量基底是由三个不共面的向量组成的 故 不正确 类型二用基底表示向量 解答 连接AC AD 解答 解答 解答 反思与感悟 用基底表示向量的步骤 1 定基底 根据已知条件 确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 2 找目标 用确定的基底 或已知基底 表示目标向量 需要根据三角形法则及平行四边形法则 结合相等向量的代换 向量的运算进行变形 化简 最后求出结果 3 下结论 利用空间向量的一个基底 a b c 可以表示出空间所有向量 表示要彻底 结果中只能含有a b c 不能含有其他形式的向量 解答 H为 OBC的重心 D为BC的中点 类型三空间向量的坐标表示 解答 解答 解答 引申探究 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤 OM 2MA 点M在OA上 答案 解析 当堂训练 1 在以下三个命题中 真命题的个数是 三个非零向量a b c不能构成空间的一个基底 则a b c共面 若两个非零向量a b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底 则a b共线 若a b是两个不共线的向量 而c a b R且 0 则 a b c 构成空间的一个基底 A 0B 1C 2D 3 正确 基底中的向量必须不共面 正确 不正确 a b不共线 当c a b时 a b c共面 故只有 正确 答案 解析 2 3 4 5 1 2 已知点A在基底 a b c 下的坐标为 8 6 4 其中a i j b j k c k i 则点A在基底 i j k 下的坐标是A 12 14 10 B 10 12 14 C 14 12 10 D 4 3 2 设点A在基底 a b c 下对应的向量为p 则p 8a 6b 4c 8i 8j 6j 6k 4k 4i 12i 14j 10k 故点A在基底 i j k 下的坐标为 12 14 10 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若a e1 e2 e3 b e1 e2 e3 c e1 e2 e3 d e1 2e2 3e3 d a b c 则 的值分别为 d e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 2e2 3e3 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 0 2 1 2 2 1 2 3 4 5 1 答案 解析 规律与方法 1 基底中不能有零向量 因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量 与任意两个非零向量都共面 所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量 2 在空间几何体中 欲得到有关点的坐标时 先建立适当的坐标系 一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴