高中数学第一章立体几何初步1_1_7柱锥台和球的体积课件新人教b版必修2

第一章 立体几何初步 学习目标 1 了解柱 锥 台和球的体积计算公式 2 能够运用柱 锥 台 球的体积公式求简单几何体的体积 3 会解决球的组合体及三视图中球的有关问题 1 1 7柱 锥 台和球的体积 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 长宽高分别为a b c的长方体的表面积S 体积V 2 棱长为a的正方体的表面积S 体积V 3 底面半径为r 母线长为l的圆柱侧面积S侧 表面积S 2 ab bc ac abc 6a2 a3 2 rl 2 rl 2 r2 4 底面半径为r 母线长为l的圆锥侧面积S侧 表面积S rl r2 rl 预习导引 1 祖暅原理 1 幂势既同 则积不容异 即 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 2 作用 3 说明 祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想 是推导柱 锥 台体积公式的理论依据 等底面积 等高的两个柱体或锥体的体积相等 2 柱 锥 台 球的体积其中S S分别表示上 下底面的面积 h表示高 r 和r分别表示上 下底面圆的半径 R表示球的半径 Sh 要点一柱体的体积例1某几何体三视图如图所示 则该几何体的体积为 解析这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体 如图 几何体的高为2 答案B 规律方法1 解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图 然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据 2 若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成 求几何体的体积时 依据需要先将几何体分割分别求解 最后求和 跟踪演练1一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 解析此几何体是两个长方体的组合 故V 2 1 1 1 1 2 4 4 要点二锥体的体积例2如图三棱台ABC A1B1C1中 AB A1B1 1 2 求三棱锥A1 ABC 三棱锥B A1B1C 三棱锥C A1B1C1的体积之比 解设棱台的高为h S ABC S 则S 4S A1B1C1 A1 ABC C A1B1C1 A1B1C1 体积比为1 2 4 B A1B1C A1 ABC C A1B1C1 规律方法三棱柱 三棱台可以分割成三个三棱锥 分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系 割补法在立体几何中是一种重要的方法 跟踪演练2如图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 求A到平面A1BD的距离d 解在三棱锥A1 ABD中 由题意知AA1为三棱锥的高 AB AD AA1 a V V A1 ABD A A1BD 要点三台体的体积例3已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm 侧面积是780cm2 求正四棱台的体积 解如图所示 正四棱台ABCD A1B1C1D1中 A1B1 10cm AB 20cm 取A1B1的中点E1 AB的中点E 则E1E是侧面ABB1A1的高 设O1 O分别是上 下底面的中心 则四边形EOO1E1是直角梯形 故正四棱台的体积为2800cm3 规律方法求台体的体积关键是求出上 下底面的面积和台体的高 要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系 跟踪演练3本例若改为 正四棱台的上 下两底的底面边长分别为2cm和4cm 侧棱长为2cm 求该棱台的体积 解如图 正四棱台ABCD A1B1C1D1中 上 下底面边长分别为2cm和4cm 过点B1作B1M OB于点M 那么B1M为正四棱台的高 S上 22 4 cm2 S下 42 16 cm2 要点四球的体积例4过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半 且AB BC CA 3cm 求球的体积和表面积 解如图 设过A B C三点的截面为圆O 连接OO AO AO AB BC CA 3cm O 为正三角形ABC的中心 OO 截面ABC OO AO R 2cm 规律方法球的基本性质是解决与球有关的问题的依据 球半径 截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法 跟踪演练4如果三个球的半径之比是1 2 3 那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的 A 1倍B 2倍C 3倍D 4倍解析半径大的球的体积也大 设三个球的半径分别为x 2x 3x 则最大球的半径为3x 答案C 1 已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1 2 3 对角线的长是 则这个长方体的体积是 A 6B 12C 24D 48解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 2x 3x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解得x 2 三条棱长分别为2 4 6 V长方体 2 4 6 48 答案D 2 一个球的表面积是16 则它的体积是 1 2 3 4 5 解析设球的半径为R 则由题意可知4 R2 16 故R 2 所以球的半径为2 1 2 3 4 5 答案D 1 2 3 4 5 3 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4 那么圆柱的体积等于 A B 2 C 4 D 8 解析设圆柱的底面半径为r 则圆柱的母线长为2r 由题意得S圆柱侧 2 r 2r 4 r2 4 1 2 3 4 5 所以r 1 所以V圆柱 r2 2r 2 r3 2 答案B 4 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 则三棱锥D1 ACD的体积是 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案A 5 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 1 2 3 4 5 解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱 圆柱底面圆半径为2 高为4 故体积为16 正四棱柱底面边长为2 高为4 故体积为16 故题中几何体的体积为16 16 答案16 16 1 2 3 4 5 课堂小结 1 计算柱体 锥体和台体的体积时 关键是根据条件找出相应的底面面积和高 要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题 旋转体的轴截面