高中数学 第二章 函数 2_1_4 函数的奇偶性课件 新人教b版必修11

2 1 4函数的奇偶性 第二章 2 1函数 学习目标1 理解函数奇偶性的定义 2 掌握函数奇偶性的判断和证明方法 3 会应用奇 偶函数图象的对称性解决简单问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一函数奇偶性的定义 为什么不直接用图象关于y轴 原点 对称来定义函数的奇偶性 答案 答案因为很多函数图象我们不知道 即使画出来 细微之处是否对称也难以精确判断 思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处 答案 答案好处有两点 1 等价 只要所有点均关于y轴 原点 对称 则图象关于y轴 原点 对称 反之亦然 2 可操作 要判断点是否关于y轴 原点 对称 只要代入解析式验证即可 不知道函数图象也能操作 奇 偶函数的概念 梳理 f x f x 思考 知识点二奇 偶 函数的定义域特征 如果一个函数f x 的定义域是 1 1 那么这个函数f x 还具有奇偶性吗 答案 答案由函数奇偶性定义 对于定义域内任一元素x 其相反数 x必须也在定义域内 才能进一步判断f x 与f x 的关系 而本问题中 1 1 1 1 1 1 f 1 无定义 自然也谈不上是否与f 1 相等了 所以该函数既非奇函数 也非偶函数 梳理 在奇函数和偶函数的定义中 都要求x D x D 这就是说 一个函数不论是奇函数还是偶函数 它的定义域都一定关于原点对称 因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则 即首先要看定义域是否关于对称 原点 思考 知识点三函数奇偶性的几何特征 下列函数图象中 关于y轴对称的有哪些 关于原点对称的呢 答案 答案 关于y轴对称 关于原点对称 奇 偶函数的图象特征 1 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 2 如果一个函数是偶函数 则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于对称 则这个函数是偶函数 坐标原点 梳理 坐标原点 y轴 y轴 题型探究 命题角度1已知函数解析式 证明奇偶性例1 1 证明f x 既非奇函数又非偶函数 证明 类型一判断函数的奇偶性 证明因为它的定义域为 x x R且x 1 对于定义域内的 1 其相反数1不在定义域内 故f x 既非奇函数又非偶函数 2 证明f x x 1 x 1 是偶函数 证明 证明函数的定义域为R 因函数f x x 1 x 1 x2 1 又因f x x 2 1 x2 1 f x 所以函数为偶函数 3 证明f x 既是奇函数又是偶函数 证明 证明定义域为 1 1 因为对定义域内的每一个x 都有f x 0 所以f x f x 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时 首先应看函数定义域是否关于原点对称 即对于定义域内的任意一个x 则 x也一定属于定义域 反思与感悟 跟踪训练1 1 证明f x x 2 既非奇函数又非偶函数 证明 证明由 0 得定义域为 2 2 关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 2 证明f x x x 是奇函数 证明 证明函数的定义域为R 因f x x x x x f x 所以函数为奇函数 命题角度2证明分段函数的奇偶性例2判断函数f x 的奇偶性 解答 解由题意可知f x 的定义域为 6 1 1 6 关于原点对称 当x 6 1 时 x 1 6 所以f x x 5 2 4 x 5 2 4 f x 当x 1 6 时 x 6 1 所以f x x 5 2 4 x 5 2 4 f x 综上可知对于任意的x 6 1 1 6 都有f x f x 分段函数也是函数 证明奇偶性也是抓住两点 1 定义域是否关于原点对称 2 对于定义域内的任意x 是否都有f x f x 或 f x 只不过对于不同的x f x 有不同的表达式 要逐段验证是否都有f x f x 或 f x 反思与感悟 跟踪训练2证明f x 是奇函数 证明 证明定义域为 x x 0 若x0 f x x2 f x x2 f x f x 若x 0 则 x 0 f x x 2 x2 f x x2 f x f x 即对任意x 0 都有f x f x f x 为奇函数 命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3f x g x 是定义在R上的奇函数 试判断y f x g x y f x g x y f g x 的奇偶性 解答 解 f x g x 是定义在R上的奇函数 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是奇函数 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是偶函数 f g x f g x f g x y f g x 是奇函数 利用基本的奇 偶 函数 通过加减乘除 复合 可以得到新的函数 判断这些新函数的奇偶性 主要是代入 x 看总的结果 反思与感悟 跟踪训练3设函数f x g x 的定义域都为R 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是A f x g x 是偶函数B f x g x 是奇函数C f x g x 是奇函数D f x g x 是奇函数 答案 解析 解析A 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x h x h x 是奇函数 A错 B 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x f x g x h x h x 是偶函数 B错 C 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x h x h x 是奇函数 C正确 D 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x f x g x h x h x 是偶函数 D错 命题角度1奇 偶 函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f x 在 0 上的图象如图所示 类型二奇偶性的应用 解答 1 画出f x 的图象 解先描出 1 1 2 0 关于原点的对称点 1 1 2 0 连线可得f x 的图象如图 2 解不等式xf x 0 解答 解xf x 0即图象上横坐标 纵坐标同号 结合图象可知 xf x 0的解集是 2 0 0 2 引申探究把例4中的 奇函数 改为 偶函数 重做该题 解答 解 1 f x 的图象如图所示 2 xf x 0的解集是 2 0 2 鉴于奇 偶 函数图象关于原点 y轴 对称 可以用这一特性去画图 求值 求解析式 研究单调性 反思与感悟 跟踪训练4已知奇函数f x 的定义域为 5 5 且在区间 0 5 上的图象如图所示 解答 1 画出在区间 5 0 上的图象 解如图 在 0 5 上的图象上选取5个关键点O A B C D 分别描出它们关于原点的对称点O A B C D 再用光滑曲线连接即得 2 写出使f x 0的x的取值集合 解答 解由图可知 当且仅当x 2 0 2 5 时 f x 0 使f x 0的x的取值集合为 2 0 2 5 命题角度2利用函数的奇偶性求解析式例5函数f x 是定义域为R的奇函数 当x 0时 f x x 1 求当x 0时 f x 的解析式 解设x0 f x x 1 x 1 又 函数f x 是定义域为R的奇函数 f x f x x 1 f x x 1 当x 0时 f x x 1 解答 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x 然后把x转化为 x 此时 x成为了已知区间上的解析式中的变量 通过应用奇函数或偶函数的定义 适当推导 即可得所求区间上的解析式 反思与感悟 跟踪训练5已知y f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x 2x x2 求y f x 的解析式 解答 解设x0 因为f x 是奇函数 所以f x f x 2 x x 2 2x x2 因为y f x 是R上的奇函数 所以f 0 0 当堂训练 1 下列函数为偶函数的是A f x x 1B f x x2 xC f x 2x 2 xD f x 2x 2 x 答案 2 3 4 5 1 解析 解析D中 f x 2 x 2x f x f x 为偶函数 2 函数f x x 1 x 1 的奇偶性是A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数 答案 2 3 4 5 1 3 已知函数y f x x是偶函数 且f 2 1 则f 2 等于A 1B 1C 5D 5 答案 2 3 4 5 1 解析 解析函数y f x x是偶函数 x 2时函数值相等 f 2 2 f 2 2 f 2 5 故选D 4 若函数f x m 1 x2 m 2 x m2 7m 12 为偶函数 则m的值是A 1B 2C 3D 4 答案 2 3 4 5 1 5 已知函数f x 为偶函数 且当x 0时 f x x 1 则x 0时 f x 答案 解析 解析设x 0 则 x 0 f x 为偶函数 f x f x x 1 2 3 4 5 1 x 1 规律与方法 1 两个定义 对于f