高中数学 第二章 函数 2_1_1 第2课时 映射与函数课件 新人教b版必修11

第2课时映射与函数 第二章2 1 1函数 学习目标1 了解映射 一一映射的概念 2 了解映射与函数间的关系 3 会判定一些对应法则是否为映射或一一映射 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一映射 设A 三角形 B R 对应法则是f 每一个三角形对应它的周长 请问 A中的元素与B中的元素有什么关系 答案 答案A中的任一元素 在B中都有唯一确定的元素与之对应 映射的概念 1 映射的定义设A B是两个集合 如果按照某种对应法则f 对A中的元素x 在B中元素y与x对应 则称f是集合A到集合B的映射 记作 提醒 映射f A B中 集合A B可以是数集 也可以是点集或其他集合 这两个集合有先后次序 梳理 非空 任意一个 有一个且仅有一个 f A B 2 象 原象的概念给定一个集合A到集合B的映射f 若集合B中的元素y与集合A中的元素x相对应 则称y是x在映射f作用下的 记作f x x称作y的 象 原象 思考 知识点二一一映射 映射f y 2x是A 1 2 3 B 2 4 6 的映射 映射 y 2x是A 1 2 3 C 1 2 4 6 的映射 问映射f与映射g有什么不同 答案 答案在映射f下 集合A中的每个元素都有象 集合B中的每个元素都有原象 在映射g下 集合C中的元素不一定都有原象 如1 梳理 一一映射的定义如果映射f是集合A到集合B的映射 并且对于集合B中的任意一个元素 在集合A中都原象 这时我们说这两个集合的元素之间存在关系 并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射 有且只有一个 一一对应 思考 知识点三映射和函数的关系 一个映射是否一定是一个函数 函数能看成一个映射吗 答案 答案映射不一定是函数 函数一定是映射 梳理 1 映射下的函数定义设A B是两个 f是A到B的一个映射 那么映射f A B就叫做A到B的函数 2 映射和函数的关系函数是数集到数集的 即映射是函数概念的推广 函数是一种特殊的映射 非空数集 映射 题型探究 例1下列对应是否构成映射 若是映射 是否为一一映射 1 A x 0 x 3 B y 0 y 1 f y x x A y B 解答 类型一映射的概念 2 A N B N f y x 1 x A y B 解是映射 是一一映射 解不是映射 3 A x 0 x 1 B y y 1 f y x A y B 解答 4 A R B y y R y 0 f y x x B y B 解是映射 是一一映射 解是映射 不是一一映射 判定一个对应法则f A B是映射的方法 1 明确集合A B中的元素的特征 2 判断A中的每个元素是否在集合B中有唯一的元素与之对应 若进一步判断是否为一一映射 还需注意B中的每一个元素在A中都有原象 且原象唯一 反思与感悟 解 1 是映射 是一一映射 是函数 2 是映射 是一一映射 不是函数 3 不是映射 4 是映射 不是一一映射 不是函数 跟踪训练1下图中 1 2 3 4 用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则是不是映射 是不是一一映射 是不是函数关系 解答 例2已知映射f A B中A B x y x y R 若f A中的元素 x y 对应到B中的元素是 3x 2y 1 4x 3y 1 1 求A中的元素 3 2 在B中对应的象 类型二象与原象 解答 解 f x y 3x 2y 1 4x 3y 1 且 3 2 是A中的元素 3x 2y 1 3 3 2 2 1 6 4x 3y 1 4 3 3 2 1 17 3 2 在B中对应的象为 6 17 2 求B中的元素 3 2 在A中对应的原象 解答 引申探究1 若使A中的元素 x y 在B中与其自身 x y 对应 这样的元素存在吗 解答 解若在A中的元素 x y 在B中能与自身对应 2 若f A中的元素 x y 对应到B中的元素是 3x 2y 1 4x 3y 1 改为 对应到B中的元素是 xy x y 则B中的元素满足什么条件时在A中有原象 解答 当且仅当 b 2 4a b2 4a 0时 方程 有实数根 因此只有当B中元素 a b 满足b2 4a 0时 在A中才有原象 求象与原象的方法 1 若已知A中的元素a 即原象a 求B中与之对应的元素b 即象b 这时只要将元素a代入对应法则f求解即可 2 若已知B中的元素b 即象b 求A中与之对应的元素a 即原象a 这时构造方程 组 进行求解即可 需注意解得的结果可能有多个 反思与感悟 跟踪训练2已知 x y 在映射f的作用下的象是 x y xy 1 求 2 3 在f作用下的象 解答 解把 2 3 代入对应法则 即x y 2 3 1 xy 2 3 6 所以 2 3 在f作用下的象为 1 6 2 若在f作用下的象是 2 3 求它的原象 解答 所以在f作用下的象 2 3 的原象为 1 3 或 3 1 例3 1 集合A a b c d 集合B e f 从集合A到集合B的映射的个数为 类型三映射的综合应用 答案 解析 解析可以用列举法 共有2 2 2 2 16 种 16 2 已知映射f A B 其中A B R 对应法则f x y x2 2x 2 若对实数k B 在集合A中不存在原象 则k的取值范围是 答案 解析 解析由于k B且在A中不存在原象 则x2 2x 2 k无解 即x2 2x 2 k 0无解 4 4 2 k 0 k 1 1 求映射个数的两类问题及解法 1 给定两个集合A B 问由A B可建立的映射的个数 这类问题与A B中元素的个数有关系 一般地 若A中有m个元素 B中有n个元素 则从A B共有nm个不同的映射 2 含条件的映射个数的确定 解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件 要采用分类讨论的思想方法来解决 反思与感悟 跟踪训练3集合A a b B 1 0 1 从A到B的映射f A B满足f a f b 0 那么这样的映射f A B的个数为A 2B 3C 5D 8 答案 解析 当堂训练 1 在从集合A到集合B的映射中 下列说法正确的是A 集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个B 集合A中的某一个元素a的象可能不止一个C 集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同D 集合B中的两个不同元素的原象可能相同 答案 2 3 4 5 1 解析根据映射的概念可知 A中元素必有唯一确定的象 但在象的集合中一个象可以有不同的原象 故A正确 解析 2 已知集合A a b 集合B 0 1 下列对应不是A到B的映射的是 答案 2 3 4 5 1 解析C选项中 b无象 解析 3 已知 x y 在映射f下的象是 2x y x 2y 则原象 1 2 在f下的象为A 0 3 B 1 3 C 0 3 D 2 3 答案 2 3 4 5 1 解析2x y 2 1 2 0 x 2y 1 2 2 3 故选A 解析 4 设集合A B都是坐标平面上的点集 x y x R y R 映射f A B使集合A中的元素 x y 映射成集合B中的元素 x y x y 则在f下 象 2 1 的原象是 答案 2 3 4 5 1 解析 5 已知集合A a b B c d 则从A到B的不同映射有 个 答案 解析 解析a c b c a d b d a c b d a d b c 共4个 2 3 4 5 1 4 规律与方法 1 映射的特征 1 任意性 A中任意元素x在B中都有元素y与之对应 即A中元素不能有剩余 2 唯一性