高中数学 第二单元 圆锥曲线与方程 2_1_2 椭圆的几何性质（二）课件 新人教b版选修1-1

第二章 2 1椭圆 2 1 2椭圆的几何性质 二 1 进一步巩固椭圆的几何性质 2 掌握直线与椭圆位置关系等相关知识 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一点与椭圆的位置关系 思考1 答案 思考2 答案 知识点二直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系 答案 有三种位置关系 分别是相交 相切 相离 思考2 如何判断直线y 2x 1与椭圆4x2 y2 4的位置关系 答案 42 4 8 3 0 所以直线y 2x 1与椭圆4x2 y2 4相交 知识点三直线与椭圆的相交弦 思考 若直线与椭圆相交 如何求相交弦弦长 答案 有两种方法 一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标 利用两点间距离公式可求得 另一种方法是利用弦长公式可求得 直线与椭圆的交点A x1 y1 B x2 y2 k为直线的斜率 其中 x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2的值 可通过由直线方程与椭圆方程联立 消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到 题型探究 类型一直线与椭圆的位置关系 答案 直线y kx k 1 k x 1 1过定点 1 1 且该点在椭圆内部 因此必与椭圆相交 解析 直线与椭圆的位置关系判别方法 代数法 联立直线与椭圆的方程 消元得到一元二次方程 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 反思与感悟 解答 解答 并整理得4x2 3mx m2 7 0 9m2 16 m2 7 0 m2 16 m 4 本题通过对图形的观察分析 将求最短距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立 消去y或x得到关于x或y的一元二次方程 则 1 直线与椭圆相交 0 2 直线与椭圆相切 0 3 直线与椭圆相离 0 所以判定直线与椭圆的位置关系 方程及其判别式是最基本的工具 反思与感悟 解答 如图 由直线l的方程与椭圆的方程可知 直线l与椭圆不相交 设直线m平行于直线l 则直线m的方程可以写成4x 5y k 0 消去y 得25x2 8kx k2 225 0 令方程 的根的判别式 0 得64k2 4 25 k2 225 0 解方程 得k1 25或k2 25 由图可知 当k 25时 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近 此时直线m的方程为4x 5y 25 0 类型二弦长与中点弦问题 解答 2 当P点恰好为线段AB的中点时 求l的方程 解答 方法一当直线l的斜率不存在时 不合题意 所以直线l的斜率存在 设l的斜率为k 则其方程为y 2 k x 4 消去y得 1 4k2 x2 32k2 16k x 64k2 64k 20 0 由于AB的中点恰好为P 4 2 即x 2y 8 0 由于P 4 2 是AB的中点 x1 x2 8 y1 y2 4 即x 2y 8 0 反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程 利用根与系数的关系或中点坐标公式解决 涉及弦的中点 还可使用点差法 设出弦的两端点坐标 代入椭圆方程 两式相减即得弦的中点与斜率的关系 解答 方法一设A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆方程并作差 得a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 直线x y 1 0的斜率k 1 x2 x1 2 联立ax2 by2 1与x y 1 0 可得 a b x2 2bx b 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 且直线AB的斜率k 1 类型三椭圆中的最值 或范围 问题 例4已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 解答 因为直线与椭圆有公共点 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 解答 设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 由 1 知5x2 2mx m2 1 0 所以当m 0时 AB 最大 此时直线方程为y x 引申探究在例4中 设直线与椭圆相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 求 AOB面积的最大值及 AOB面积最大时的直线方程 解答 反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多 而且可与很多知识联系在一起出题 例如不等式 三角函数 平面向量以及函数的最值问题等 解决这类问题需要正确地应用转化思想 函数与方程思想和数形结合思想 其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式 这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件 答案 解析 6 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 2y 3 0 答案 解析 1 2 3 4 5 解析 设直线l与椭圆的交点为M x1 y1 N x2 y2 得 1 2k2 x2 4kx 0 1 2 3 4 5 化简得k4 k2 2 0 所以k2 1 所以k 1 所以所求直线l的方程是y x 1或y x 1 1 2 3 4 5 规律与方法 1 直线与椭圆相交弦长的有关问题 1 当弦的两端点的坐标易求时 可直接求出交点坐标 再用两点间距离公式求弦长 3 如果直线方程涉及斜率 要注意斜率不存在的情况 2 解决椭圆中点弦问题的二种方法 1 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组 消去一个未知数 利用