高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4_1 曲线与方程（二）课件 北师大版选修2-1

第三章 4曲线与方程 4 1曲线与方程 二 学习目标1 了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点 感受曲线的实际背景 明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用 2 了解解析几何的基本思想 明确它所研究的基本问题 3 初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法 同时进一步加深理解 曲线的方程 方程的曲线 的概念 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一坐标法的思想 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础 只有建立了平面直角坐标系 才有点的坐标 才能将曲线代数化 进一步用代数法研究几何问题 答案 依据一个给定的平面图形 选取的坐标系唯一吗 答案 不唯一 常以得到的曲线方程最简单为标准 思考2 梳理 1 坐标法 借助于 通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法 2 解析几何研究的主要问题 通过曲线研究方程 根据已知条件 求出 通过方程研究曲线 通过曲线的方程 研究 坐标系 表示曲线的方程 曲线的性质 知识点二求曲线的方程的步骤 有序实数对 x y P M p M P M f x y 0 f x y 0 方程的解 题型探究 类型一直接法求曲线的方程 例1一个动点P到直线x 8的距离是它到点A 2 0 的距离的2倍 求动点P的轨迹方程 解答 设P x y 则 8 x 2 PA 化简 得3x2 4y2 48 故动点P的轨迹方程为3x2 4y2 48 引申探究若将本例中的直线改为 y 8 求动点P的轨迹方程 解答 据题意设P x y 则P到直线y 8的距离d y 8 化简 得4x2 3y2 16x 16y 48 0 故动点P的轨迹方程为4x2 3y2 16x 16y 48 0 直接法求动点轨迹的关键及方法 1 关键 建立恰当的平面直角坐标系 找出所求动点满足的几何条件 2 方法 求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤 在实际求解时可简化为三大步骤 建系 设点 根据动点满足的几何条件列方程 对所求的方程化简 说明 特别提醒 直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化 反思与感悟 解答 设点P x y 由M 1 0 N 1 0 点P的轨迹方程为x2 y2 3 x 0 类型二代入法求解曲线的方程 例2动点M在曲线x2 y2 1上移动 M和定点B 3 0 连线的中点为P 求P点的轨迹方程 解答 设P x y M x0 y0 因为P为MB的中点 又因为M在曲线x2 y2 1上 所以 2x 3 2 4y2 1 所以P点的轨迹方程为 2x 3 2 4y2 1 代入法求解轨迹方程的步骤 1 设动点P x y 相关动点M x0 y0 2 利用条件求出两动点坐标之间的关系 3 代入相关动点的轨迹方程 4 化简 整理 得所求轨迹方程 反思与感悟 跟踪训练2 ABC的顶点A固定 点A的对边BC的长是2a 边BC上的高的长是b 边BC沿一条定直线移动 求 ABC外心的轨迹方程 解答 如图所示 以BC所在的定直线为x轴 以过A点与x轴垂直的直线为y轴 建立直角坐标系 则A点的坐标为 0 b 设 ABC的外心为M x y 作MN BC于N 则MN是BC的垂直平分线 BC 2a BN a MN y 又M是 ABC的外心 M M MA MB 化简 得所求轨迹方程为x2 2by b2 a2 0 类型三根据曲线的方程求两曲线的交点 例3过点M 1 2 的直线与曲线y a 0 有两个不同的交点 且这两个交点的纵坐标之和为a 求a的取值范围 解答 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时 不可能与曲线有两个公共点 设直线方程为y 2 k x 1 k 0 消去x 得y2 2 k y ka 0 当此方程有两个不同的根 即方程组有两个不同的解时 直线与曲线有两个不同的交点 2 k 2 4ka 0 设方程 的两根分别为y1 y2 由根与系数的关系 得y1 y2 2 k 又 y1 y2 a k 2 a 代入 0中 得a2 4a 2 a 0 又 k 0 2 a 0 即a 2 结合曲线方程的定义 两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解 所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题 讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题 即两曲线C1和C2的方程分别为F x y 0和G x y 0 则它们的交点坐标由方程组 反思与感悟 的解来确定 跟踪训练3直线l y k x 5 k 0 与圆O x2 y2 16相交于A B两点 O为圆心 当k变化时 求弦AB的中点M的轨迹方程 解答 设M x y 易知直线恒过定点P 5 0 再由OM MP 得 OP 2 OM 2 MP 2 x2 y2 x 5 2 y2 25 点M应在圆内 所求的轨迹为圆内的部分 当堂训练 2 3 4 5 1 1 曲线y 与xy 2的交点是A 1 1 B 2 2 C 直角坐标系内的任意一点D 不存在 联立方程组无解 答案 解析 2 3 4 5 1 2 方程x2 y2 1 xy 0 表示的曲线是 xy0时 y0 曲线应在第二象限 且与坐标轴均无交点 答案 解析 3 直线 1与x y轴交点的中点的轨迹方程是 答案 解析 x y 1 0 x 0 x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 已知 O的方程是x2 y2 2 0 O 的方程是x2 y2 8x 10 0 由动点P向 O和 O 所引的切线长相等 则动点P的轨迹方程是 答案 解析 2 3 4 5 1 5 M为直线l 2x y 3 0上的一动点 A 4 2 为一定点 又点P在直线AM上运动 且AP PM 3 求动点P的轨迹方程 解答 设点M P的坐标分别为M x0 y0 P x y 因为点M x0 y0 在直线2x y 3 0上 即8x 4y 3 0 从而点P的轨迹方程为8x 4y 3 0 规律与方法 求解轨迹方程常用方法 1 直接法 直接根据题目中给定的条件进行确定方程 2 定义法 依据有关曲线的性质建立等量关系 从而确定其轨迹方程 3 代入法 有些问题中 其动点满足的条件不便用等式列出 但动点是随着另一动点 称之为相关点 而运动的 如果相关点所满足的条件是明显的 或是可分析的 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 根据相关点