高中数学 第三章 不等式 3_2 一元二次不等式（二）课件 苏教版必修5

第3章不等式 3 2一元二次不等式 二 1 会解可化为一元二次不等式 组 的简单分式不等式 2 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型 并加以解决 3 掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一分式不等式的解法 思考 等价 好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式 答案 梳理一般的分式不等式的同解变形法则 f x g x 0 f x g x 0 g x 0 x 1 0在区间 2 3 上恒成立的几何意义是什么 区间 2 3 与不等式x 1 0的解集有什么关系 知识点二一元二次不等式恒成立问题 思考 答案 x 1 0在区间 2 3 上恒成立的几何意义是函数y x 1在区间 2 3 上的图象恒在x轴上方 区间 2 3 内的元素一定是不等式x 1 0的解 反之不一定成立 故区间 2 3 是不等式x 1 0的解集的子集 梳理一般地 不等式f x 0在区间 a b 上恒成立 的几何意义是函数y f x 在区间 a b 上的图象全部在x轴方 区间 a b 是不等式f x 0的解集的 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题 即在 a b 上 k f x 恒成立 k k f x 恒成立 k 上 子集 f x max f x min 题型探究 类型一一元二次不等式在生活中的应用 解答 移项整理 得x2 9x 7110 0 显然 0 x2 9x 7110 0有两个实数根 即x1 88 94 x2 79 94 根据二次函数y x2 9x 7110的图象 得不等式的解集为 x x79 94 在这个实际问题中 x 0 所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km h 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型 解题时要弄清题意 准确找出其中的不等关系 再利用一元二次不等式求解 确定答案时应注意变量具有的 实际含义 反思与感悟 跟踪训练1在一个限速40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm h之间分别有如下关系 S甲 0 1x 0 01x2 S乙 0 05x 0 005x2 问超速行驶谁应负主要责任 解答 由题意列出不等式S甲 0 1x甲 0 01 12 S乙 0 05x乙 0 005 10 分别求解 得x甲30 x乙40 由于x 0 从而得x甲 30km h x乙 40km h 经比较知乙车超过限速 应负主要责任 类型二分式不等式的解法 原不等式的解集为 x 2 x 3 解答 解答 反思与感悟 解答 解答 类型三不等式恒成立问题 4 m 0 例3设函数f x mx2 mx 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 要使mx2 mx 1 0恒成立 若m 0 显然 1 0 满足题意 解答 解答 2 对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 方法一要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是增函数 当m 0时 6 0恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是减函数 g x max g 1 m 6 0 得m 6 m 0 方法二当x 1 3 时 f x m 5恒成立 即当x 1 3 时 m x2 x 1 6 0恒成立 解答 引申探究若将例3 2 改为 对于任意m 1 3 f x m 5恒成立 求实数x的取值范围 f x m 5 即mx2 mx 1 m 5 m x2 x 1 6 0 设g m m x2 x 1 6 则g m 是关于m的一次函数且斜率 g m 在 1 3 上为增函数 要使g m 0在 1 3 上恒成立 只需g m max g 3 0 即3 x2 x 1 6 0 x2 x 1 0 反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围 通常处理方法有两种 1 考虑能否进行参变量分离 若能 则构造关于变量的函数 转化为求函数的最大 小 值 从而建立参变量的不等式 2 若参变量不能分离 则应构造关于变量的函数 如一次函数 二次函数 并结合图象建立参变量的不等式求解 答案 跟踪训练3当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 则m的取值范围是 5 解析 构造函数f x x2 mx 4 x 1 2 则f x 在 1 2 上的最大值为f 1 或f 2 由于当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 当堂训练 1 若不等式x2 mx 1 0的解集为R 则实数m的取值范围是 1 2 3 4 答案 解析 由题意 得 m2 4 0 2 m 2 2 2 2 若产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本 销售收入不小于总成本 时的最低产量是 台 y 25x 0 1x2 5x 3000 0 即x2 50 x 30000 0 解得x 150或x 200 舍去 故生产者不亏本的最低产量是150台 1 2 3 4 答案 解析 150 3 不等式x2 x k 0恒成立时 k的取值范围为 1 2 3 4 由题意知 0 即1 4k 0 答案 解析 1 2 3 4 解得x 1或x 2 原不等式的解集为 x x 1或x 2 解答 1 2 3 4 解答 规律与方法 1 解分式不等式时 一定要等价变形为一边为零的形式 再化归为一元二次不等式 组 求解 当不等式含有等号时 分母不为零 2 对于有的恒成立问题 分离参数是一种行之有效的方法 这是因为将参数予以分离后 问题往往会转化为函数问题 从而得以迅速解决 当然这必须以参数容易分离作为前提 分离参数时 经常要用到下述简单结论 1 若f x 有最大值f x max 则a f x 恒成立