高中数学 第一章 计数原理 习题课 二项式定理课件 北师大版选修2-3

习题课二项式定理 第一章计数原理 学习目标1 能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念 2 会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 二项式定理及其相关概念 2 二项式系数的四个性质 杨辉三角的规律 1 对称性 3 二项式系数的最大值 4 二项式系数之和 所用方法是 2n 赋值法 当n是偶数时 中间的一项取得最大值 即最大 当n是奇数时 中间的两项相等 且同时取得最大值 即 最大 题型探究 解析 1 ax 1 x 5 1 x 5 ax 1 x 5 x2的系数为 则10 5a 5 解得a 1 命题角度1两个二项式积的问题 类型一二项式定理的灵活应用 例1 1 在 1 x 6 1 y 4的展开式中 记xmyn项的系数为f m n 则f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 2 已知 1 ax 1 x 5的展开式中x2的系数为5 则a 解析 答案 120 1 反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 1 分别对每个二项展开式进行分析 发现它们各自项的特点 2 找到构成展开式中特定项的组成部分 3 分别求解再相乘 求和即得 跟踪训练1的展开式中各项系数的和为2 则该展开式的常数项为A 40B 20C 20D 40 解析 答案 解析令x 1 得 1 a 2 1 5 2 a 1 令5 2r 1 得r 2 令5 2r 1 得r 3 命题角度2三项展开式问题 例2的展开式中的常数项是 解析 答案 r2 0 1 2 5 r1 令5 r1 2r2 0即r1 2r2 5 展开式的通项为 r1 0 1 2 5 当0 r1 5时 的展开式的通项公式为 反思与感悟 三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点 转化为二项式来解决 转化的方法通常为配方法 因式分解 项与项结合 项与项结合时 要注意合理性和简捷性 跟踪训练2求 x2 3x 4 4的展开式中x的系数 解答 显然 上式中只有第四项中含x的项 所以展开式中含x的项的系数是 768 命题角度3整除和余数问题 例3今天是星期一 今天是第1天 那么第810天是星期A 一B 二C 三D 四 解析 答案 解析求第810天是星期几 实质是求810除以7的余数 应用二项式定理将数变形求余数 所以第810天相当于第1天 故为星期一 反思与感悟 1 利用二项式定理处理整除问题 通常把底数写成除数 或与除数密切关联的数 与某数的和或差的形式 再利用二项式定理展开 只考虑后面 或前面 一 二项就可以了 2 解决求余数问题 必须构造一个与题目条件有关的二项式 跟踪训练3设a Z 且0 a 13 若512015 a能被13整除 则a 由于512015 a能被13整除 0 a 13 故 1 a能被13整除 故a 1 解析 答案 1 解答 类型二二项式系数的综合应用 例4已知 2x n 1 若展开式中第五项 第六项 第七项的二项式系数成等差数列 求展开式中二项式系数最大的项的系数 解由已知得 即n2 21n 98 0 得n 7或n 14 当n 7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项 解答 2 若展开式中前三项的二项式系数之和等于79 求展开式中系数最大的项 解由 即n2 n 156 0 得n 13 舍去 或n 12 设Tr 1项的系数最大 0 r n r N r 10 展开式中系数最大的项是第11项 解决此类问题 首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数 其次理解记忆其有关性质 最后对解决此类问题的方法作下总结 尤其是有关排列组合的计算问题加以细心 反思与感悟 跟踪训练4已知展开式中二项式系数之和比 2x xlgx 2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112 第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120 求x 解答 解依题意得2n 22n 1 112 整理得 2n 16 2n 14 0 解得n 4 所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项 依题意得 2x 4 xlgx 4 1120 化简得x4 1 lgx 1 所以x 1或4 1 lgx 0 当堂训练 2 3 4 5 1 1 在x 1 x 6的展开式中 含x3项的系数为A 30B 20C 15D 10 解析 答案 2 3 4 5 1 2 的展开式中常数项为A 8B 12C 20D 20 答案 解析 令6 2r 0解得r 3 2 3 4 5 1 A 0B 2C 7D 8 答案 解析 2 3 4 5 1 解析 a 6 故选D 答案 5 若 x m 8 a0 a1x a2x2 a8x8 其中a5 56 则a0 a2 a4 a6 a8 答案 解析 解析由已知条件可得a5 m 3 56m3 56 m 1 2 3 4 5 1 128 规律与方法 1 两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 1 分别对每个二项展开式进行分析 发现它们各自项的特点 2 找到构成展开式中特定项的组成部分 3 分别求解再相乘 求和即得 2 三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点 转化为二项式来解决 有些题目也可转化为计数问题解决 转化的方法通常为配方 因式分解 项与项结合 项与项结合时要注意合理性和简捷性 3 用二项式定理处理整除问题 通常把底数写成除数 或