光波技术基础part3.ppt

第三章波动光学方法 听说过吗 躺在床上能和外教一对一练英语口语 适合职场中的你 免费体验史上最牛英语口语学习 太平洋英语 Maxwell方程组 Maxwell方程 强度 E 电场强度 H 磁场强度通量密度 D 电位移矢量 B 磁感应强度 f 自由电荷密度 Jf 自由电流体密度 2 3 2 1 2 2 2 4 2 5 2 6 一 光波导的基本方程 场和场源之间的关系 r 张量介电常数 r 张量磁导率 波动方程 E H诸量随时 空的变化关系 只考虑线性的 各向同性的 透明媒质 非时变的 各向同性介质 透明 无自由电荷 无磁性 f 0 Jf 0 0非时变 对 1 式两边求旋度 类似地 磁导率 真空磁导率 0 介电常数 真空介电常数 相对介电常数 均匀介质 为常数和 或 变化缓慢的介质 为常数和 波动方程式简化 光纤材料线性 各向同性 透明介质 均匀z向传输波半无限长 纵 横向差别极大 光纤中的电磁波单色 Z向传输波 Helmholtz方程 波动方程 简化的波动方程式 谐变电磁场 或单色光波 的波动方程 Helmholtz方程 Maxwell方程 Helmholtz方程 严格地 忽略损耗 传输波 z变量分离 由波动方程可知 影响光波导传输特性的 主要是折射率的空间分布对于折射率分布沿纵向 z向 不变的光波导 如 光纤 平面波导 其数学描述为 可以证明 相应的光场是沿z传输的传输波 可表示为分离形式 忽略 传播常数 E x y 和H x y 表示E H沿波导横截面的分布 称为模式场 相应的Helmholtz方程为 t 垂直于z方向的横向 模式 根据偏微分方程理论 对于给定得边界条件 上述方程有无穷个离散得特征解 并可进行排序 每一个特征解为 每一个特征解称为一个模式 波导中总的光场分布则是这些模式的线性组合 模式特性 稳定性 模式沿z向传输时 其场分布形式不变有序性 模式是离散的 可以排序的 排序法有二 其一 以 大小排序 越大序号越小 其二 以 x y 排序叠加性 总场分布是这些模式的线性叠加正交性 不同模式之间满足正交关系 即 纵向场与横向场 由于光纤及平面波导结构的纵向和横向差别极大 求解其中的光场时常分解为纵向分量和横向分量之和 微分算符也可表示为纵向和横向的叠加 E exEx eyEy ezEz H exHx eyHy ezHz E Et ezEzH Ht ezHz 代入Maxwel可得 纵向场与横向场 续 对于模式场同样有 于是 代入上式 有 在直角坐标系下 只有两个独立变量 其余四个量可由方程组中的4个求出 用Ez和Hz表示的其它分量表达式为 基本波导方程式 利用这些方程式 只要从波动方程求出两个分量 其它场分量就可以得到 自由空间的均匀平面波 在与传播方向垂直的无限大平面上 电场强度E和磁场强度H的幅度和相位都相等 Maxwell Helmholtz 平面波解 E H k相互正交 电磁场的能量密度和能流密度 时变电磁场中的一个重要现象 电场能量密度随电场强度变化 磁场能量密度随磁场强度变化空间各点的能量密度变化引起能量流动 坡印亭 Poyting 矢量P E H 能量密度 观察点上单位体积内电磁场具有的能量 能流密度P E H反映电磁场能量传播的大小和方向观察点上 从垂直于P的单位面积上流出的功率 电磁场能量守恒定律 自由空间中沿k方向传播的单色平面波 谐变电磁场瞬态行为与平均行为 P k 二 平面及条型光波导理论 场分解和模式分类TE模模场解导模条件特征方程模式TM模传播常数模式分析色散特性多模群延时 场分解与模式分类 z方向波导几何形状不变 电磁场沿z方向传输 变量z可分离 平面波导在y方向无限延伸 场分量在y方向没有变化 基本波导方程化为 导波中的模式场可分解为TE模和TM模对于TE模 Ez 0 Ex Hy 0 仅有Ey Hx和Hz三个场分量 表示为 0 Ey 0 Hx 0 Hz 对于TM模 Hz 0 Ey Hx 0 仅有Ex Ez和Hy三个场分量 表示为 Ex 0 Ez 0 Hy 0 场分解与模式分类 续 TE模 1 TE模的解 Ey是TE模电场仅有的分量 代入波动方程 有 解得 其中 根据基本波导方程 Hx和Hz可由右式求得 2 导模条件 波导内呈振荡形式解 应有 介质板外场分量应迅速衰减 应有 对于导模 考虑到 导模条件为 与光线理论结果相同 3 特征方程 求解 的方程 边界条件 边界上横向分量连续 当x 0时 应有Ey1 Ey2 Hz1 Hz2 代入模式解可得 当x h时 应有Ey1 Ey3 Hz1 Hz3 代入模式解可得 对于上述两式组成的线性齐次方程组 要使A B有非零解 须令系数行列式为零 即 由此可求得特征方程为 3 特征方程 续 令为第一象限角 且 则由特征方程可表示为 m 0 1 2 分别对应着TE0 TE1 TE2 模式 由可知 和 实际上表征了传输矢量k的横向和纵向分量 所以特征方程又可化为 Kx kz k 与光线理论结果一致 相干加强条件同一波阵面上各点的振动情况完全相同 相位相同或相差2 整数倍 h A B C D 波前 n1 n2 n3 3 2 满足全反射条件时 只有某些以特定角度入射的光线才能在波导内传导 每一种可以传导的电磁波称为波导的一种模式 附 光线理论中的相干加强条件 与上述波动理论结果一致 所谓模式 就是波导中容许存在的一种场结构的形式 这种场结构既满足Maxwell方程组也满足电磁场的边界条件不同模式 其场分量在波导横截面上的分布不同 其传输常数也不同模式的传输常数由波导物理量和光波长确定 4 模式 考虑对称波导n2 n3 特征方程化为 进一步 偶TE模 奇TE模 其中 引入参数 导模条件 模式必须同时满足导模条件和特征方程 U W图曲线中的一个交点代表一个模式故传播常数 可由交点的横坐标Um 或纵坐标Wm 结合波导的物理量n1 n2 h算出 2 3 2 2 归一化频率 波导物理量和波长 TM模 分析方法相似于TE模 Hy是TM模电场仅有的分量 波动方程 解 其中 TM模的解 特征方程 边界条件 Hy Ez连续 对称波导 or TM模 续 化为 弱导近似下 n1 n2 TE TM模简并 U W曲线 传输常数 特征值 归一化播常数 弱导近似 弱导近似下 TE TM模的特征方程 可化为 V b曲线 导模条件 0 b 1 模式截止 某模式在包层中也有振荡解 场分量不迅速衰减 称该模式截止截止的模式不再由波导导行 而成为一个辐射模因此 某模式截止条件为 模式分析 对应于U W图上特征方程曲线与x轴 U轴 的交点 对于对称波导 模式截止状态 W 0 下 TE模的特征方程为 W 0 相应的根为 分别对应着TE0 TE1 TE2 的截止频率 也就是 若波导的归一化频率V 2 TE1 TM1 模就能在波导中存在 反之 若V 2 TE1 TM1 模就不是导模 其余模式可依此类推 TEm和TMm具有相同的截止频率 即截止时两波简并 离开截止时 如果不进行弱导近似 k1 k2orn1 n2 两模彼此分离 对于TM模 截止状态下的特征方程为 相应的根为 分别对应着TM0 TM1 TM2 的截止频率 截止波长 某模式 TEm 能够传输的条件是V m 2 可得该模式的截止波长为 光线理论 c c k1 某模式截止时该模式的U V m 2 c 也可表示为 与光线理论结果一致 单模条件 TE0 TM0 的截止频率为零 亦即截止波长为无穷大 表示TE0 TM0 是任何平面波导中都能存在 永不截止的模式 称为基模或主模 单模截止波长 基模 或主模 次低阶模TE1 TM1 模截止 仅剩TE0 TM0 模 单模条件 即 V 2 近截止 远离截止 场分布进入n2介质内很深 模数 模数与V值有关 V越大可传输的模数越多 从U W图可得 考虑到TM模 模式总数约2MTE 光线理论结果 基本一致 有限值 对TEm模 对TMm模 结论 1 远离截止 TE TM模彼此靠近2 TEm TMm 模的U值范围 3 场分布很好地限制在波导层内 色散特性 相速与群速相速 等相面 群速度