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Floyd算法Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。核心思路：通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。 从图的带权邻接矩阵A=a(i,j) nn开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。算法过程：把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则Gi,j=d，d表示该路的长度；否则Gi,j=无穷大。 定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，Di,j表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化Di,j=j。 把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，Gi,j = min( Gi,j, Gi,k+Gk,j )，如果Gi,j的值变小，则Di,j=k。 在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。 比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为V5,V3,V1，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。优缺点分析：Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。 优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单； 缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。Floyd算法的基本思想：（1）利用二维数组A1.n-11.n-1, Aij记录当前vi到vj的最短路径长度，数组A的初值等于图的代权临街矩阵;（2）集合S记录当前允许的中间顶点，初值S=;（3）依次向S中加入v0 ,v1 vn-1，每加入一个顶点，对Aij进行一次修正：设S=v0 ,v1 vk-1，加入vk，则A(k)ij = min A(k-1)ij，A(k-1)ik+A(k-1)kj。A(k)ij的含义：允许中间顶点的序号最大为k时从vi到vj的最短路径长度。A(n-1)ij就是vi到vj的最短路径长度。Dijkstra算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径，动态路由协议OSPF中就用到了Dijkstra算法来为路由计算最短路径。算法本身并不是按照我们的正常思维习惯，我们一般会，从原点遍历所有与之相连的节点，找到最短路径，再从最短路径上的那个点遍历与之相连的所有其它点（原点除外），然后依次类推。这样做虽然可以算出一个树形，但是在大多数情况下，这种算法会产生很多次优路径，也就是说非最短路径。Dijkstra算法的大概过程：假设有两个集合或者说两个表，表A和表B表A表示生成路径，表B表示最后确定的路径1.从原点出发，遍历检查所有与之相连的节点，将原点和这些节点存放到表A中，并记录下两节点之间的代价。2.将代价最小的代价值和这两节点移动到表B中（其中一个是原点）。3.把这个节点所连接的子节点找出，放入到表A中，算出子节点到原点的代价4.重复第二步和第三步直到表A为空。然后根据表B中的数据算出最优树。维基百科中还有另一种说法，Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。我们以V表示G中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w:E0,定义。因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e.最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。这条路径的长度是du+w(u,v)。如果这个值比目前已知的dv的值要小，我们可以用新值来替代当前dv中的值。拓展边的操作一直执行到所有的dv都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过组织因而当du达到它最终的值的时候没条边(u,v)都只被拓展一次。Dijkstra算法图示算法介绍Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。我们以V表示G中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E 0, 定义。因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。算法描述这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，源点s的路径长度值被赋为0（ds=0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外dv= ）。当算法结束时，dv中储存的便是从s到v的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。 Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。这条路径的长度是du+w(u,v)。如果这个值比目前已知的dv的值要小，我们可以用新值来替代当前dv中的值。拓展边的操作一直执行到所有的dv都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过组织因而当du达到它最终的值的时候没条边(u,v)都只被拓展一次。算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有dv的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的du值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有 A star算法在静态路网中的应用效的方法。 公式表示为： f(n)=g(n)+h(n), 其中 f(n) 是从初始点经由节点n到目标点的估价函数， g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价， h(n) 是从n到目标节点最佳路径的估计代价。 保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取： 估价值h(n)实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。A*（A Star）算法：启发式（heuristic）算法A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。公式表示为： f(n)=g(n)+h(n),其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：估价值h(n)实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。