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知识改变命运 百度提升自我本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！由递推公式求数列通项中的数学思想成都市玉林中学 周先华 递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。在近几年高考题目中均有此类题，特别是2004年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。一引入问题：已知数列an满足a1=1, 且an+1 =+1,求an。分析一：归纳法。由递推公式，可求出a2=4，a3=13，a4=40。则a2-a1=3=31，a3-a2=9=32，a4-a3=27=33。由此猜测：an-an-1=3n-1（可用数学归纳法证明），所以an-1-an-2=3n-2，an-2-an-3=3n-3，a4-a3=33，a3-a2=32，a2-a1=31，把上式子累加，得，an-a1=31+32+33+3n-1=，得an=。分析二：构造法。由an+1 =+1，得an+1 +=3（an+），即数列an+为一个公比为3的等比数列，则an+=(1+)3n-1 =。分析三：迭代法。an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=3n-1a1+3n-2 1+3n-31 +31+1=点评：（1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；（2）分析二中构造出新数列，由新数列求出an的通项；（3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。 本文将由此例题展开，对它进行各种变形，力求归纳出由递推公式求通项公式的方法。 二基本概念： 递推公式：如果已知数列的首项（或前几项），而且数列的任一项an与它的前一项（或前几项）之间的关系可用公式的形式，这个公式叫递推公式。 三题型1 例1.已知数列an满足a1=1, 而且an+1=an+1，求an。 例2. 已知an满足a1=1, 且an+1=，求an。分析：例1中，由已知条件得an+1-an=1，即an为等差数列；例2中，得=3，即an为等比数列。 点评：（1）例1由引入问题中3变为1 ；例2由引入问题中的1变为0；（2）递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d,q为常数）时，可直接转化为等差数列或等比数列从而求解。 （3）今年北京考题中有这样一题：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做此数列的公和；已知数列an满足a1=2，公和为5，那么a18的值为 ；这个数列的前n项和Sn的计算公式为 。显然，可把等和数列理解为an+1+an=d形式，即摆动数列。 四题型2 例3.已知数列an中，a1=1，对任意自然数n都有，求an。 分析：由已知，累加，得an-a1=。点评：（1）例3由例1中的常数项1变为f(n)而得来；（2）递推式为an+1=an+f(n)，只要f(1)+f(2)+f(n-1)是可求的，可用累加法求出。（3）今年安徽题中也有这样一题：已知数列an中a1=1，且a2k=a2k-1+(-1)k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1,2,3（1）求a3，a5（2）求数列an的通项公式。这是一个an+1=an+f(n)型的函数，只不过偶数项减奇数项与奇数项减偶数项的f(n)不同而已，依照上法，可以轻松求解。（4）运用类比推理的思想方法，把例3与例1的形式进行比较后可看出类似之处，从而在方法上类同。 五引入问题基本题型的归纳 对递推式为an+1=pan+q（p、q为常数）时，可构造新数列an+1+=p(an+)。其证明的简略过程如下：由an+1=pan+q，令an+1+x =p(an+x)，化简，得an+1=pan+px-x，因此px-x=q，即x=。得证。例4：已知数列an中，a1=1，求an。分析：把两边取倒数，可得。令，则bn+1=3bn+1，即引入问题，按上法可求解。点评：（1）转换问题，化成基本型后求解（运用反思维定势定势方法中的转移思维方法）（2）对分式型递推数列可归纳如下：设a1=a，若d=0，则上式变形为，令,则,即基本型。若d，c0,且bcad，令an= bn+t(t为待定系数)转化为情形。例5.设数列an：a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9。求通项an.分析：把已知式子变形为，令an= bn+t，则，从而,令t2-6t+9=0，解得t1=t2=3，则,即,为、等差数列，求得.点评：不难发现，例5的求解过程中，t是方程的根，即函数f(x)= 的不动点；从而可从函数的不动点角度出发，解决一类问题。 例6： 已知数列an中，a1=1，且an+1=3an+2n-1(n=1,2,),求数列an的通项公式。 分析：两边加上n+1，得an+1 +n+1=3（an+n）,令，得bn+1=3bn，即例2，照例2的方法求解。 点评：此题的转化过程较技巧；但只要转化成功，用构造法就可较易求出通项。 例7：（03高考）已知数列an中，a0为常数，且an=3n-1-2an-1（nN+），求数列an的通项公式。分析：两边同除以3n，得。即基本型，用构造法即可求解。点评：对于递推式an+1=pan+，两边同除以，构造新数列，转化为an+1=pan+q。六题型三例8.（00全国）已知an为首项为1的正项数列，且（n+1）an+12-nan2+anan+1=0(n=1,2,3,)，则an= 。分析：由已知得，（an+1+an）(n+1)an+1-nan=0，得，以上式子累乘，得，得。点评：（1）递推式，可用累乘求出通项；（2）从形式与方法与基本型进行类比从而探求方法。 例9：已知数列an中，a1=1且anan+1=4n，求通项公式。 分析：由anan+1=4n及an+1an+2=4n+1，两式相除，得=4，则a1,a3,a5,a2n-1，和a2,a4,a6,a2n，都是公比为4的等比数列，a1=1,a2=4，则：（1）当n为奇数时，an=；（2）当n为偶数时，an=。 点评：（1）此例变形后与例7类似；（2）解法与例7也非常类似，只不过把一个数列分成奇数项、偶数项。七、利用二阶递推式求通项1.归纳法例9. 已知数列an中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an ，则a1994= 。分析：可求得各项依次为1，5，4，-1，-5，-4，1，5，每6项是一个周期，而19946得商为332余2，即a1994=5.点评：求出前几项，再归纳其规律从而求an。例10.（2002天津）已知数列an是由非负数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=(an-1+2)(an-2+2)。（1）求a3 ；（2）证明an=an-2+2；（3）求an及前n项和Sn.分析：（1）求出a2后再求出a3；（2）用数学归纳法证明；（3）采用例3中04安徽题的解题方法。点评：（1）此题中(2)用数学归纳法证明，这给我们提供了一种思路：当“无路可走”时，可考虑多写几项归纳规律后再用归纳法证明；（2）归纳是逻辑方法中最重要的方法之一，在数列问题中的应用更为突出，要反复练习，达到运用自如的程度。2.构造法例11. 已知数列an中，a1=0，a2=2，且an+1+an-1=2（an+1）（n2），求通项公式。分析：由已知，an+1- an = an -an-1+2（n2），构造新数列bn=an+1-an，则bn=bn-1+2，即数列bn为公差d=2,首项b1=2的等差数列。即bn=2n，从而an+1-an =2n。再用例3的累加法求出结果得an=n(n-1)。点评：（1）适当的移项或添加项是构造法的关键（2）若把上题中条件an+1+an-1=2（an+1）（n2）改为：，又怎样构造呢？（提示：可把上式变形为，即，从而构造出新的等比数列）。 3.降阶法 例12. 数列an中，a1=a2=1，且an+2=2an+1-an+2n，求通项an。 分析：可设法转化为一阶递推数列，将已知递推关系变形为：an+2-an+1-2n+1=an+1-an-2n。这表明数列 an+2-an+1-2n+1是常数列，递推可得，an+1-an-2n=a2-a1-2=-2，即有an+1=an+2n-2，利用题型二方法解出an。 点评：此例的解题思路为降阶。一般地，若数列满足a1=a,a2=b，且an+2=pan+1+qan+f(n)，可转化为一阶递推式。设常数、，使an+2-an+1=(an+1-an)+f(n)与an+2=pan+1+qan+f(n)比较得：p=+,q=-。令bn=an+1-an，则bn+1=bn+f(n)。 在用递推公式求数列通项的以上所有例题中，使用了大量的数学思想方法，如逻辑方法中的归纳与演绎，类比、分析与综合，非逻辑方法中的反思维定势等。我力图通过此归纳，引导读者不仅关注一类题的解法（通法），也要在归纳中反思数学思想方法，从而让数学思想方法能更广泛、深入