高考数学大一轮复习第六章数列6_3等比数列及其前n项和课件文新人教版

6 3等比数列及其前n项和 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 一般地 如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母表示 q 0 1 等比数列的定义 知识梳理 2 等比数列的通项公式 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一常 数 公比 q a1 qn 1 如果在a与b中间插入一个数G 使a G b成等比数列 那么G叫做a与b的 3 等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m N 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n N 则 等比中项 qn m ak al am an 公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列 其公比为 5 等比数列的前n项和公式 6 等比数列前n项和的性质 qn 等比数列 an 的单调性 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 满足an 1 qan n N q为常数 的数列 an 为等比数列 2 G为a b的等比中项 G2 ab 3 如果数列 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 1 教材改编 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q等于 考点自测 答案 解析 2 2015 课标全国 已知等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7等于A 21B 42C 63D 84 答案 解析 3 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3 S4 15 则S6等于A 31B 32C 63D 64 答案 解析 4 教材改编 在9与243中间插入两个数 使它们同这两个数成等比数列 则这两个数为 答案 解析 27 81 答案 解析 11 题型分类深度剖析 题型一等比数列基本量的运算 例1 1 2015 课标全国 已知等比数列 an 满足a1 a3a5 4 a4 1 则a2等于 答案 解析 答案 解析 2n 1 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 跟踪训练1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn为其前n项和 已知a2a4 1 S3 7 则S5等于 答案 解析 2 2015 湖南 设Sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且3S1 2S2 S3成等差数列 则an 答案 解析 3n 1 题型二等比数列的判定与证明 例2设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求a2 a3的值 解答 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 1时 a1 2 1 2 当n 2时 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 当n 3时 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 综上 a2 4 a3 8 2 求证 数列 Sn 2 是等比数列 证明 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 2时 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 Sn 1 2 n 1 得nan n 1 Sn n 2 Sn 1 2 n Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 2 nan Sn 2Sn 1 2 Sn 2Sn 1 2 0 即Sn 2Sn 1 2 Sn 2 2 Sn 1 2 S1 2 4 0 Sn 1 2 0 故 Sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 思维升华 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于选择题 填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 证明 跟踪训练2已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 1 证明 an 是等比数列 并求 an 的通项公式 证明 题型三等比数列性质的应用 例3 1 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 答案 解析 50 答案 解析 思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 1 通项公式的变形 2 等比中项的变形 3 前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 跟踪训练3 1 已知在等比数列 an 中 a1a4 10 则数列 lgan 的前4项和等于A 4B 3C 2D 1 答案 解析 2 设等比数列 an 中 前n项和为Sn 已知S3 8 S6 7 则a7 a8 a9等于 答案 解析 分类讨论思想在等比数列中的应用 思想与方法系列13 1 利用等差数列的性质求出等比数列的公比 写出通项公式 2 求出前n项和 根据函数的单调性证明 规范解答 思想方法指导 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 等比数列x 3x 3 6x 6 的第四项等于A 24B 0C 12D 24 答案 解析 由x 3x 3 6x 6成等比数列 得 3x 3 2 x 6x 6 解得x1 3或x2 1 不合题意 舍去 故数列的第四项为 24 2 2016 珠海模拟 在等比数列 an 中 若a1 0 a2 18 a4 8 则公比q等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 在正项等比数列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 则n等于A 12B 13C 14D 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 昆明模拟 在等比数列 an 中 若a3 a7是方程x2 4x 2 0的两根 则a5的值是 答案 解析 根据根与系数之间的关系得a3 a7 4 a3a7 2 由a3 a7 40 所以a3 0 a7 0 即a5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其意思为 有一个人走378里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了6天后到达目的地 请问第二天走了A 192里B 96里C 48里D 24里 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 铜仁质检 在由正数组成的等比数列 an 中 若a3a4a5 3 则sin log3a1 log3a2 log3a7 的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 设Sn为等比数列 an 的前n项和 已知3S3 a4 2 3S2 a3 2 则公比q 答案 解析 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 设各项都是正数的等比数列 an Sn为前n项和且S10 10 S30 70 那么S40 答案 解析 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足an Sn 1 n N 则通项an 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知 an 是等差数列 满足a1 3 a4 12 数列 bn 满足b1 4 b4 20 且 bn an 是等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设等差数列的公差为d 所以an a1 n 1 d 3n n N 设等比数列 bn an 的公比为q 所以bn an b1 a1 qn 1 2n 1 从而bn 3n 2n 1 n N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求数列 bn 的前n项和 解答 由 1 知bn 3n 2n 1 n N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 全国丙卷 已知各项都为正数的数列 an 满足a1 1 2an 1 1 an 2an 1 0 1 求a2 a3 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2016 昆明一检 已知等比数列 an 的前n项和是Sn S18 S9 7 8 1 求证 S3 S9 S6依次成等差数列 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设等比数列 an 的公比为q 若q 1 则S18 18a1 S9 9a1 S18 S9 2 1 7 8 q 1 S18 S