高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用 第1课时 导数与函数的单调性课件 文 新人教版

第2讲导数在研究函数中的应用 最新考纲1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数不超过三次 3 会用导数解决实际问题 知识梳理 1 函数的单调性与导数的关系函数y f x 在某个区间内可导 则 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是 单调递增 单调递减 常数函数 2 函数的极值与导数的关系 1 函数的极小值与极小值点若函数f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 2 函数的极大值与极大值点若函数f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 f x 0 都小 f x 0 都大 f x 0 f x 0 3 函数的最值与导数的关系 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 连续不断 极值 最小 最大 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 精彩PPT展示 1 若函数f x 在区间 a b 上单调递增 那么在区间 a b 上一定有f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的充要条件 3 对可导函数f x f x0 0是x0为极值点的充要条件 4 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 解析 1 函数f x 在 a b 上单调递增 则在 a b 上有f x 0 故 1 错 2 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 2 错 3 如f x x3 当x 0时 f x 0 而函数f x 在R上为增函数 所以x 0不是极值点 故 3 错 答案 1 2 3 4 2 选修1 1P94探究改编 函数f x 的定义域为区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在区间 a b 内极小值点的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析导函数f x 的图象与x轴的交点中 左侧图象在x轴下方 右侧图象在x轴上方的只有一个 所以f x 在区间 a b 内有一个极小值点 答案A 答案B 4 2016 四川卷 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a A 4B 2C 4D 2解析由题意得f x 3x2 12 令f x 0得x 2 当x 2 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 2 2 时 f x 0 函数f x 单调递增 故f x 在x 2处取得极小值 a 2 答案D 答案 1 第1课时导数与函数的单调性 考点一利用导数研究函数的单调性 规律方法用导数讨论 证明 函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 训练1 设f x ex ax2 x 1 a 0 试讨论f x 的单调性 考点二求函数的单调区间 易错警示 规律方法求函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 在定义域内解不等式f x 0 得单调递增区间 4 在定义域内解不等式f x 0 得单调递减区间 易错警示个别导数为0的点不影响所在区间的单调性 如函数f x x3 f x 3x2 0 x 0时 f x 0 但f x x3在R上是增函数 考点三已知函数的单调性求参数 易错警示 训练3 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在R上为增函数 求实数a的取值范围 2 若函数f x 的单调减区间为 1 1 求a的值 解 1 因为f x 在R上是增函数 所以f x 3x2 a 0在R上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 因为3x2 0 所以只需a 0 又因为a 0时 f x 3x2 0 当且仅当x 0时取等号 f x x3 1在R上是增函数 所以实数a的取值范围是 0 思想方法 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解 并注意函数f x 的定义域 2 含参函数的单调性要分类讨论 通过确定导数的符号判断函数的单调性 3 已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决 易错防范 1 求单调区间应遵循定义域优先的原则 2 注意两种表述 函数f x 在 a b 上为减函数 与 函数f x 的减区间为 a b 的区别 3 在某区间内f x 0 f