【创新设计】高考数学一轮复习 第10章 椭圆配套文档 理 苏教版.DOC

第十章圆锥曲线与方程第1讲椭圆93考点梳理1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距(2)第二定义：平面内与一个定点f和一条定直线l的距离的比是常数e(0eb0)，将点(5,4)代入得1，又离心率ee2，解之得a245，b236，故椭圆的方程为1.答案14(2012扬州调研一)已知椭圆e：1(ab0)过点p(3,1)，其左、右焦点分别为f1，f2，且6，则椭圆e的离心率是_解析由题意，知1，设椭圆左、右焦点为f1(c,0)，f2(c,0)，(3c,1)，(3c,1)，9c216，c216，即a2b216，又1，a218，b22，相应离心率大小为e.答案5已知f1、f2是椭圆c：1(ab0)的两个焦点，p为椭圆c上的一点，且.若pf1f2的面积为9，则b_.解析由题意知pf1pf22a，(pf1)2(pf2)2(f1f2)24c2，(pf1pf2)22pf1pf24c2，2pf1pf24a24c24b2.pf1pf22b2，spf1f2pf1pf22b2b29.b3.答案3考向一考查椭圆的定义【例1】 已知椭圆1(ab0)的长、短轴端点分别为a、b，从椭圆上一点m(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点f1，.(1)求椭圆的离心率e；(2)设q是椭圆上任意一点，f1、f2分别是左、右焦点，求f1qf2的取值范围解(1)因为f1(c,0)，则xmc，ym，所以kom，因为kab，所以，所以bc，故e.(2)设f1qr1，f2qr2，f1qf2，所以r1r22a，f1f22c，且由(1)知ab，则cos 110，当且仅当r1r2时，cos 0，所以.方法总结 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、pf1pf22a，得到a、c的关系(2)对f1pf2的处理方法【训练1】 已知椭圆的中心在原点，离心率e，左焦点为f1(2,0)(1)求椭圆的方程；(2)设p是椭圆上一点，且点p与椭圆的两个焦点f1、f2构成直角三角形，若pf1pf2，求的值解(1)由题意，c2，所以a4，b2a2c216412.所以椭圆方程为1.(2) 因为pf1pf2，且pf1f2是直角三角形，所以当pf2f190时，由椭圆定义与勾股定理，得又pf1pf2，解得pf15，pf23，所以.当f1pf290时，由且pf1pf2，得此方程组无解综上所述，.考向二求椭圆的标准方程【例2】 (2013泰州二模)已知椭圆1(ab0)的离心率为e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b.已知点a的坐标为(a,0)，点q(0，y0)在线段ab的垂直平分线上，且4.求y0的值解(1)由e，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2b，由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组得a2，b1，所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)知a(2,0)，且直线l的斜率必存在设b点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则l的方程为yk(x2)于是a，b两点的坐标满足方程组由方程消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，从而y1.设线段ab的中点为m，则m点的坐标为.以下分两种情况：当k0时，点b的坐标为(2,0)，线段ab的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.当k0时，线段ab的垂直平分线方程为y.令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理得7k22.故k，所以y0.综上，y02或y0.方法总结 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再结合椭圆性质、已知条件定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2ny21(m0，n0，mn)，由题目所给条件求出m、n即可【训练2】 (1)求与椭圆1有相同的离心率，焦点在x轴，且经过点(2，)的椭圆方程(2)已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且p到两焦点的距离分别为5、3，过p且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程解(1)由题意，设所求椭圆的方程为t(t0)，椭圆过点(2，)，t2，故所求椭圆标准方程为1.(2)设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，b212.故所求椭圆方程为1或1.考向三考查椭圆的几何性质【例3】 已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若p是椭圆上任意一点，f1、f2是椭圆的左、右焦点求pf1pf2的最大值；求的取值范围解(1)由题意，可设椭圆的方程为1(ab0)因为e，所以，即.又1，即1.解得a24，b23，所以椭圆的方程为1.(2)由(1)得f1(1,0)，f2(1,0)因为pf1pf22a4，所以pf1pf224，当且仅当pf1pf22时等号成立所以(pf1pf2)max4.设p(x0，y0)，则1.所以(1x0，y0)(1x0，y0)xy1x44.又因为0x4，所以.方法总结 椭圆的离心率作为椭圆的几何性质之一，是高考的热点无论文科、理科几乎每年都要考查e.从条件中寻求a与b或a与c的关系，求出其离心率若求离心率的范围，则应结合0|x0|a、0|y0|b、acpf1ac、acpf2ac或|pf1|pf2|2a2等转化为不等式求解【训练3】 (2013南京模拟)设a，b分别为椭圆1(ab0)的左，右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距(1)求椭圆的方程；(2)设p(4，x)(x0)，若直线ap，bp分别与椭圆相交异于a，b的点m，n，求证：mbn为钝角(1)解依题意，得a2c，b2a2c23c2，设椭圆方程为1，将代入，得c21，故椭圆方程为1.(2)证明由(1)，知a(2,0)，b(2,0)，设m(x0，y0)，则2x00，即mbp为锐角，则mbn为钝角规范解答16怎样解椭圆中的综合性问题解析几何题除考一道填空题，必考一道综合题，以圆和椭圆为主，可以是圆和椭圆单独命题，也可以是它们的综合，解这类问题，知识面宽，方法灵活，对能力要求较高椭圆中的综合问题，解题思路不难，但要正确快速解答却不容易，但如果方法选择适当，那么求解往往事半功倍，所以，拿到这类问题应认真审题，选择最优方法【示例】 (2012安徽卷)如图，点f1(c,0)，f2(c,0)分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，过点f1作x轴的垂线交椭圆c的上半部分于点p，过点f2作直线pf2的垂线交直线x于点q.(1)如果点q的坐标是(4,4)，求此时椭圆c的方程；(2)证明：直线pq与椭圆c只有一个交点审题路线图 (1)利用a、b、c先表示p点的坐标，进而表示直线f2q的方程，求得q的坐标，从而得到a、b、c的关系式，可求得椭圆方程；(2)首先求得直线pq的方程，再判断与椭圆的位置关系解答示范 (1)解由条件知，p，故直线pf2的斜率为kpf2.pf2f2q，直线f2q的方程为yx.故q.(3分)由题设知，4,2a4，解得a2，c1.(5分)故椭圆方程为1.(7分)(2)证明直线pq的方程为，即yxa.(9分)将上式代入椭圆方程得x22cxc20，解得xc，y，(11分)直线pq与椭圆c只有一个交点(13分)点评本题考查椭圆方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识和运算求解的基本技能，考查推理论证能力及数形结合思想直线与圆锥曲线的位置关系的判断通常利用联立两方程，由判别式来判定高考经典题组训练1(2012大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为_解析2c4，c2.又4，a28，b2a2c24.椭圆方程为1.答案12(2012四川卷)椭圆1的左焦点为f，直线xm与椭圆相交于点a、b.当fab的周长最大时，fab的面积是_解析根据椭圆的定义结合其几何性质求解直线xm过右焦点(1,0)时，fab的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a8，此时，|ab|23，sfab233.答案33(2012山东卷改编)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为_解析利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆c的方程为1.答案14(2012陕西卷)已知椭圆c1：y21，椭圆c2以c1的长轴为短轴，且与c1有相同的离心率(1)求椭圆c2的方程；(2)设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆c1和c2上，2，求直线ab的方程解(1)由已知可设椭圆c2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆c2的方程为1.(2)法一a，b两点的坐标分别记为(xa，ya)，(xb，yb)，由2及(1)知，o，a，b三点共线且点a，b不在y轴上，因此可设直线ab的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直线ab的方程为yx或yx.法二a，b两点的坐标分别记为(xa，ya)，(xb，yb)，由2及(1)知，o，a，b三点共线且点a，b不在y轴上，因此可设直线ab的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线ab的方程为yx或yx.分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率e_.解析由题意得2a2bab，又a2b2c2bcace.答案2中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_解析依题意知：2a18，a9,2c2a，c3，b2a2c281972，椭圆方程为1.答案13(2012西安模拟)以f1(0，1)，f2(0,1)为焦点的椭圆c过点p，则椭圆c的方程为_解析由题意得，c1,2apf1pf2 2.故a，b1.则椭圆的标准方程为x21.答案x214(2012常州调研一)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1(ab0)的右顶点为a，上顶点为b，m为线段ab的中点，若moa30，则该椭圆的离心率的值为_解析由moa30，结合图形可有b，则ab，从而离心率e.答案5(2012惠州调研二)已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆g上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为_解析依题意设椭圆g的方程为1(ab0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a12，a6，椭圆的离心率为.，.解得b29，椭圆g的方程为：1.答案16(2012盐城模拟)已知椭圆y21的左、右焦点分别为f1、f2，点m在该椭圆上，且0，则点m到y轴的距离为_解析由题意，得f1(，0)，f2(，0)设m(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因为点m在椭圆上，故y21，即y21.将代入，得x22，解得x.故点m到y轴的距离为.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7. 如图，已知椭圆e经过点a(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点f1，f2在x轴上，离心率e.(1)求椭圆e的方程；(2)求f1af2的角平分线所在直线l的方程解(1)设椭圆e的方程为1(ab0)，由e，即，得a2c，得b2a2c23c2.椭圆方程可化为1.将a(2,3)代入上式，得1，解得c2，椭圆e的方程为1.(2)由(1)知f1(2,0)，f2(2,0)，直线af1的方程为y(x2)，即3x4y60，直线af2的方程为x2.由点a在椭圆e上的位置知，直线l的斜率为正数设p(x，y)为l上任一点，则|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由3x4y65x10，得2xy10，直线l的方程为2xy10.8(2011天津卷)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2.点p(a，b)满足|pf2|f1f2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线pf2与椭圆相交于a，b两点，若直线pf2与圆(x1)2(y)216相交于m，n两点，且|mn|ab|，求椭圆的方程解(1)设f1(c,0)，f2(c,0)，(c0)，因为|pf2|f1f2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线pf2的方程为y(xc)a、b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解为不妨设a，b(0，c)，所以|ab| c.于是|mn|ab|2c.圆心(1，)到直线pf2的距离d.因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520.得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.分层训练b级创新能力提升1(2012汕头一模)已知椭圆1上有一点p，f1，f2是椭圆的左、右焦点，若f1pf2为直角三角形，则这样的点p有_个解析当pf1f2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点p有2个；同理当pf2f1为直角时，这样的点p有2个；当p点为椭圆的短轴端点时，f1pf2最大，且为直角，此时这样的点p有2个故符合要求的点p有6个答案62(2013镇江调研一)已知f1(c,0)，f2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，p为椭圆上一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析设p(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a22c2a23c2，e.答案3(2013扬州调研)点m是椭圆1(ab0)上的点，以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点f，圆m与y轴相交于p，q，若pqm是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_解析由条件mfx轴，其半径大小为椭圆通径的一半，r，圆心到y轴距离为c，若pmq为钝角，则其一半应超过，从而，则2acb2，即2ac(a2c2)，两边同时除以a2，则e22e0，又0e1，0e0，b0)1(a0，b0)图形续表性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c准线xy实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长a1a22a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长b1b22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)【助学微博】一个命题规律双曲线的定义、标准方程、离心率及范围、渐近线方程和准线方程等知识是高考考查的重点，以填空题等形式考查，主要考查双曲线的基本知识、基本性质以及双曲线中各基本量的计算，属于中、低档题目两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值考点自测1(2011安徽卷改编)双曲线2x2y28的实轴长是_解析双曲线2x2y28的标准方程为1，所以实轴长2a4.答案42设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_解析由题意得b1，c.a，双曲线的渐近线方程为yx，即yx.答案yx3设p是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，f1、f2分别是双曲线的左、右焦点，若pf13，则pf2_.解析由渐近线方程yx，且b3，得a2，由双曲线的定义，得pf2pf14，又pf13，pf27.答案74(2012苏州高三调研)与双曲线1有公共渐近线，且经过点a(3,2)的双曲线的方程是_解析所求双曲线方程可设为m，则由点a(3，2)在该双曲线上，得m，所以双曲线方程为1.答案15(2012南京二模)已知双曲线y21的一条渐近线方程为x2y0，则该双曲线的离心率为_解析双曲线y21的渐近线方程为xay0.由题意，a2.又b1，c，e.答案考向一双曲线的定义【例1】 (1)(2013南通调研)在平面直角坐标系xoy中，已知a，b分别是双曲线x21的左、右焦点，abc的顶点c在双曲线的右支上，则的值是_(2)(2013常州调研)设点p是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，f1、f2分别是双曲线的左、右焦点，且pf13pf2，则双曲线的离心率为_解析 (1)如图，由条件可知acbc2，且ab4，又在abc中，有2r，从而.(2)由于a2b2c2，所以圆x2y2a2b2即为x2y2c2，因此该圆与x轴的交点就是双曲线的两个焦点，而点p是圆与双曲线在第一象限的交点，所以pf1pf2，即(pf1)2(pf2)2(2c)2，而pf13pf2，所以pf1c，pf2c，又由双曲线的定义得pf1pf22a，所以cc2a，即c2a，于是e.答案(1)(2)方法总结 双曲线定义的应用：(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化【训练1】 (2012徐州模拟)设f1、f2是双曲线x21的左、右焦点，p在双曲线上，且0，则pf1f2的面积为_，|的值为_解析由0，得pf1pf2.所以pfpf4c240.又由双曲线定义得|pf1pf2|2a2，所以4(pf1pf2)2pfpf2pf1pf2402pf1pf2，所以pf1pf218，spf1f2pf1pf29.|2|2.答案92考向二双曲线的标准方程【例2】 (1)(2012徐州市调研)设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为_(2)(2011山东卷改编)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆c：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为_解析(1)由题意知椭圆c1的焦点坐标为：f1(5,0)，f2(5,0)设曲线c2上的一点p.则|pf1pf2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线c2的标准方程为1.(2)由题意，得圆c的标准方程为(x3)2y24，圆心c(3,0)半径r2，双曲线的右焦点f2为(3,0)，即c3.又c3，双曲线的渐近线的方程为yx，bxay0，2，即b2，a2945.答案(1)1.(2)1方法总结 双曲线的标准方程除由定义法求解外，对一般问题仍按先定性，后定位(焦点在哪条坐标轴上)，再定参(确定a、b，特别注意c2a2b2)若不能确定焦点所在的位置，一般设为mx2ny21(mn0)的左、右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p，q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m.若|mf2|f1f2|，则c的离心率是_审题与转化 第一步：由条件|mf2|f1f2|，可知求点m的坐标是解题的关键第二步：由点b、f1坐标求直线f1b方程，联立渐近线方程求得点p、q坐标及pq中点n坐标由n点坐标及直线mn斜率求直线mn方程令y0得m点坐标规范解答 第三步：f1(c,0)，b(0，b)k，故直线f1b方程为yxb.联立与得p点坐标为，q点坐标为，设pq中点为n，则点n的坐标为，直线mn的方程为y.令y0，得x，m.又由|mf2|f1f2|知3c，即a22b2，1e2.e.反思与回顾 第四步：离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关双曲线的离心率问题的根本方法高考经典题组训练1(2012湖南卷改编)已知双曲线c：1的焦距为10，点p(2,1)在c的渐近线上，则c的方程为_解析由题意知，焦距为10，c5，又p(2,1)在双曲线的渐近线上，a2b，又a2b2c2，a220，b25，故双曲线方程为1.答案12(2012新课标全国卷改编)等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y216x的准线交于a，b两点，|ab|4，则c的实轴长为_解析设c：x2y2a2(a0)，其交y216x的准线l：x4于a(4,2)，b(4，2)，得a2(4)2(2)2，a2,2a4.答案43(2012江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析由双曲线标准方程1知a2m0，b2m24，c2a2b2mm24，由e，得5，m0且5，m24mx0，m2.答案24(2012天津卷)已知双曲线c1：1(a0，b0)与双曲线c2：1有相同的渐近线，且c1的右焦点为f(，0)，则a_，b_.解析由题意，得2，且c，所以b2a,5c2a2b25a2，所以a21，a1，b2.答案125(2012辽宁卷)已知双曲线x2y21，点f1、f2为其两个焦点，点p为双曲线上一点，若pf1pf2，则pf1pf2的值为_解析由pf1pf2，得pfpff1f8.由双曲线定义，得|pf1pf2|2a2，所以4pfpf2pf1pf282pf1pf2，所以2pf1pf24，pf1pf22.答案2分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1若双曲线1(a0)的离心率为2，则a_.解析b，c，2，a1.答案12若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为b，则由题意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率e.答案3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_解析由题意可知，解得答案14(2011湖南卷改编)设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a_.解析双曲线1的渐近线方程为3xay0与已知方程比较系数得a2.答案25(2012苏州市自主学习调查)过椭圆1(ab0)的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线1的离心率为_解析由题意，得，即a24b24(c2a2)，所以5a24c2，e2，e.答案6(2012南京模拟)已知双曲线c：1(a0，b0)的右顶点、右焦点分别为a、f，它的左准线与x轴的交点为b，若a是线段bf的中点，则双曲线c的离心率为_解析由题意知b，a(a,0)，f(c,0)，于是a是线段bf的中点，得c2a，c2a22ac，e22e10.又e1，所以e1.答案1二、解答题(每小题15分，共30分)7设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率解由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bxayab0.由原点到l的距离为c，得c.将b代入，平方后整理，得1621630.令x，则16x216x30，解得x或x.由e，得e，故e或e2.0ab，e，应舍去e，故所求离心率e2.8设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1，f2，且f1f22，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若p为这两曲线的一个交点，求cosf1pf2的值解(1)由已知，得c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则解得a7，m3.所以b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设f1、f2分别为左、右焦点，p是第一象限的一个交点，则pf1pf214，pf1pf26，所以pf110，pf24.又f1f22，故cosf1pf2.分层训练b级创新能力提升1(2011天津卷改编)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为_解析由题意得c.双曲线的焦距2c2.答案22(2012南京调研)设f1，f2是双曲线x21的两个焦点，p是双曲线上的一点，且3pf14pf2，则pf1f2的面积是_解析由可解得又由f1f210可得pf1f2是直角三角形，则spf1f2pf1pf224.答案243. (2012苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形abcd的顶点a、b为左、右焦点，且双曲线过c、d两顶点若ab4，bc3，则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得b(2,0)，c(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案x214(2013南京师大附中调研)过双曲线c：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为a、b.若aob120(o是坐标原点)，则双曲线c的离心率为_解析 如图，由题知oaaf，obbf且aob120，aof60，又oaa，ofc，cos 60，2.答案25(2012台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求f1mf2的面积(1)解e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，f1(2，0)，f2(2，0)，kmf1，kmf2，kmf1kmf2，又点(3，m)在双曲线上，m23，kmf1kmf21，mf1mf2，0.法二(32，m)，(23，m)(32)(32)m23m2.m在双曲线上，9m26，m23，0.(3)解在f1mf2中，f1f24，且|m|，sf1mf2f1f2|m|46.6(2010全国卷)已知斜率为1的直线l与双曲线c：1(a0，b0)相交于b、d两点，且bd的中点为m(1,3)(1)求c的离心率；(2)设c的右顶点为a，右焦点为f，|df|bf|17，证明：过a、b、d三点的圆与x轴相切(1)解由题意知，l的方程为yx2，代入c的方程并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设b(x1，y1)，d(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由m(1,3)为bd的中点，知1，故1，即b23a2，c2a，c的离心率e2.(2)证明由知，c的方程为3x2y23a2.a(a,0)，f(2a,0)，x1x22，x1x2