第3章_光学谐振腔与激光模式.ppt

光学谐振腔理论研究的精确方法 对经典电磁场理论中的波动方程严格求解 光学谐振腔理论研究的近似方法 1 几何光学 将光看成光线 用几何光学方法来处理 忽略衍射 2 矩阵光学 用矩阵代数的方法研究光学问题 用变换矩阵来描述光在光腔内的往返传播 3 波动光学 菲涅耳 基尔霍夫衍射积分理论 光学谐振腔的稳定性 光学谐振腔的模式 第三章光学谐振腔与激光模式 非稳腔模式 3 1光学谐振腔的构成和分类 a 闭腔 b 开腔 c 气体波导腔 半导体腔 3 1 1光学谐振腔的构成和分类 如果固体激光材料长度远小于腔长 可视为开腔 分类 按照腔镜的形状和结构 球面腔和非球面腔 腔内是否插入透镜之类的光学元件 或者是否考虑腔镜以外的反射表面 简单腔和复合腔 根据腔中辐射场的特点 驻波腔和行波腔 根据反馈机理的不同 端面反馈腔和分布反馈腔 根据构成谐振腔反射镜的个数 两镜腔和多镜腔 3 1 2典型开放式光学谐振腔 1 平行平面腔 两块互相平行且垂直于激光器光轴的平面镜 激光技术发展历史上最早提出的光学谐振腔 这种装置在光学上称为法布里 珀罗干涉仪 简记为F P腔 这种腔的特点是可以充分利用激活介质 使光束在整个激活介质体积内振荡 缺点是衍射损耗大 对准精度要求高 前提 无源腔 即腔内无激活介质 2 对称共焦腔 组成 两块相距为L 曲率半径分别为和的凹面反射镜 且 即两凹面镜 曲率半径相同且焦点在腔中心处重合 这种结构的谐振腔在腔中心对光束有弱聚焦作用 对准灵敏度低 易于装调 衍射损耗低 介质利用率低 一般共焦腔 共焦腔 2 共心腔 组成 两块相距为L 曲率半径分别为和的凹面反射镜 且 即两凹面镜曲率半径相同且焦点在腔内重合 若两反射镜曲率半径相等 则两凹面镜曲率中心在腔中心重合 为对称共心腔 特点 不能充分利用激光介质 容易损害腔内器件 非对称对称 第三章光学谐振腔与激光模式 2 平凹腔 组成 相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的凹面反射镜 当 称为半共焦腔 特点 衍射损耗低 易于装调 成本低 大多数氦氖激光器采用这种腔型 对于固体激光器 可直接在晶体端面镀膜 成为平面镜 此外 还有双凸腔 平凸腔 凹凸腔等 以及由多个反射镜构成的折叠腔 环形腔等 模式 谐振腔内可能存在的电磁场本征状态 振荡频率和空间分布 3 2激光模式 3 2 1驻波与谐振频率 当激光器处于振荡状态 激光器内部两个方向传播的光叠加成为满足一定相位条件的驻波 第三章光学谐振腔与激光模式 频率 振幅 振动方向均相同的两列波在同一直线上沿相反方向传播时 相干形成驻波 对于腔内介质分段均匀的情况 例如腔内除激光介质外其余部分为空气 则有 腔长为半波长的整数倍 整数所表征的腔内纵向稳定场分布 纵模间隔 3 2 2纵模 由整数q所表征的腔内纵向的稳定场分布称为激光的纵模 q称为纵模的序数 不同纵模相应于不同的q值 对应不同的谐振频率 对于腔内介质分段均匀的情况 纵模在频率尺度上是等距离的 腔长越小 纵模间隔越大 理想情况下 一个纵模对应一个谐振频率值 实际上由于腔的损耗 每一个纵模都具有一定宽度 满足谐振条件的谐振频率很多 但由于粒子发光的荧光谱线宽度有限 必须落在荧光线宽内而且满足谐振条件的纵模才能形成激光输出 由于波长很小 腔长相对很大 整数q值很大 即腔内波腹数很多 达数万到数十万个波腹 书中P36 例题3 1 例题3 2 例 He Ne激光器 当和时 激光器中分别可能出现几种频率的激光 已知Ne原子自发辐射的中心频率 荧光光谱增益线宽 解 结论 1 工作原子 分子 离子 自发辐射的荧光线宽越大 可能出现的纵模数越多 2 激光器腔长越大 相邻纵模的频率间隔越小 因而同样的荧光谱线宽度内可容纳的纵模数越多 m x方向节线数 n y方向节线数 谐振腔内的光波在垂直于光轴的横截面内的电磁场分布 每一种横模对应一种横向的稳定场分布 用标记 q很大 通常不写出来 3 2 3横模 对于轴对称 轴对称 旋转对称 对于旋转对称 m 径向节线数 n 角向节线数 实际出现的是多种模式的叠加 两种模式叠加 基模 最好的模式 自再现模 横模 在腔反射镜面上经过一次往返传播后能 自再现 的稳定场分布 相对分布不受衍射影响 镜边缘的衍射效应 损失能量 引起能量分布的变化 横模的形成 纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布 只有同时运用纵模和横模概念 才能全面反映腔内光场分布 不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率 但不同纵模光场分布之间差异很小 不能用肉眼观察到 只能从频率的差异区分它们 不同的横模 由于其光场分布差异较大 很容易从光斑图形来区分 应当注意 不同横模之间 也有频率差异 这一点常被人们忽视 选择性损耗 因横模而异 非选择性损耗 与模式无关 3 3光学谐振腔的损耗 3 3 1光腔的损耗 1 损耗的种类 2 平均单程损耗因子 总损耗因子为腔内各损耗因子之和 3 损耗举例 1 腔镜倾斜引起的损耗 可以减小或避免 由于光往返m次后逸处腔外 所以往返一次损耗为1 m 可求得单程损耗因子为 红色是暗环 3 透射损耗 设两个反射镜的反射率分别为和 则初始光强为的光在腔内往返一周 经两个镜面反射后 光强变为 当 时 有 在实际使用中 一个反射镜为全反射镜 另一个为输出镜 则 4 吸收损耗 一般常用吸收系数来定量描述介质对光的吸收作用 其定义为通过单位长度介质后光强衰减的百分数 介质中不同位置处的光强为 若吸收系数是均匀的 则光在腔内往返一次后光强衰减为 由此可得 由介质吸收引起的单程损耗因子为 时刻往返次数 3 3 2腔的时间常数和光子的平均寿命 腔内光子数密度衰减到初始值的所用的时间 损耗越小 光子寿命越长 Q值越高 3 3 3无源腔的品质因数 Q值 1 光线传播矩阵 3 4光学谐振腔的稳定性条件 3 4 1腔内光线往返传播的矩阵表示 2 光线变换矩阵 用矩阵表达式来表示近轴光线通过一个光学系统后光线参数的变换规律 列矩阵称为光线在某一截面处的光线矩阵 有正负之分 1 均匀介质层的光线变换矩阵 2 球面反射镜的光线变换矩阵 3 薄透镜的光线变换矩阵 常用光学元件的光线变换矩阵 反射 反射 3 光学谐振腔内光线往返传播矩阵 一次往返总变换矩阵 光线在腔内经n次往返 变换矩阵为 稳定性条件 1 稳定腔 近轴光线在腔内往返任意多次而不横向逸处腔外 3 4 2共轴球面腔的稳定性条件 两镜腔适用 2 非稳腔 光线在腔内有限次往返后必然从侧面逸出腔外 稳定腔 光束在腔内多次往返后 其位置仍紧靠光轴 非稳定腔 光束在腔内多次往返后 从横向逸出腔外 临界腔 属于极限情况 往返矩阵的计算与顺序 参考面的选取无关非稳腔并不意味腔不能稳定工作 只是几何损耗大 在高功率激光器中经常采用 2 稳区图 腔的参数确定后 在稳区图上有唯一的对应点 稳区图上的一点 并不能单值确定腔的参数 共焦腔 两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔 对称共焦腔 两个反射镜曲率半径相等的共焦腔 简并 稳定腔内光束有限次往返后可形成闭合光路 3 4 3临界腔属于极限情况 1 对称共焦腔 特点 任意近轴光线可无限多次往返而不逸出腔外 是最重要和最有代表性的一种稳定腔 2 平行平面腔 3 共心腔 双调Q双波长Nd YAG Cr YAG激光器 双波长和频 593nm黄光 Nd YAG激光器腔内倍频 自锁模飞秒激光器 光的衍射理论 3 5光学谐振腔的衍射理论基础 3 5 1自再现模 自再现模 横模 经过足够多次的往返传播之后 光场的相对分布不再受衍射的影响 自再现模经过一次往返传播后能 自再现 即各点振幅按同样比例衰减 各点相对产生同样滞后 镜边缘的衍射效应 损失能量 引起能量分布的变化 开腔中自再现模的形成 理想开腔 孔阑传输线 经j次渡越后 单程 3 5 2菲涅耳 基尔霍夫衍射积分 P处的场可看作是S上各子波源发出的非均匀球面子波在P点的叠加 应用到谐振腔 3 5 3自再现模积分方程 自再现 相对稳定 镜面上各点场振幅按同样比例衰减 相位发生同样大小的滞后 j足够大 是与坐标无关的常数 以表示稳态场分布 开腔自再现模应满足的积分方程 简化的积分方程 本征方程 来回振荡不改变函数形式 仅被衰减或放大 或产生相移 分子去掉k 3 71 3 5 4自再现模积分方程解的物理意义 单程损耗 单次渡越相移 复常数的物理意义 包括几何损耗和衍射损耗 以衍射损耗为主 谐振条件 自再现模积分方程的本征函数决定了镜面上不同横模光场的振幅和相位分布 本征值决定不同横模的单程损耗 单程相移以及谐振频率 下面 求解积分方程 第二类弗里德霍姆方程 一般方法 根据具体问题引入适当坐标系 简化积分方程 第一项是几何相移 第二项是波振面畸变引起的附加相移 使得谐振频率偏离驻波条件决定的频率 3 6 1平行平面镜腔的自再现模积分方程 将按 的幂级数展开 3 6平行平面镜腔的自再现模 此方程对x y两个坐标是对称的 故可分离变量 3 6 2平行平面腔的数值迭代解法 1 FOX Li数值迭代法 迭代公式 若已知 2 自再现模形成过程实例 设条状腔的具体尺寸 以一列均匀平面波作为第一个镜面上的初始激发波 经过1次和300次渡越后所得到的振幅的相对分布 特点 对于基模 在镜面中心处振幅最大 从中心到边缘振幅逐渐减小 整个镜面上振幅分布具有偶对称性 经过1次和300次渡越后所得到的相位的相对分布 特点 基模的相位分布曲线不是直线 而是有起伏的曲线 说明镜面不是等相面 在镜面边缘处相位产生滞后 因此 严格说来 基模已不仅不是均匀平面波 而且已经不再是平面波了 如果初始场分布不同 得到的稳定自再现模也不同 即得到不同模式 1 单程衍射损耗 无论是条形腔或圆形镜平行平面腔 其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数 条形镜平面腔的 N曲线 1 对于同一横模 唯一地由N值决定 且随N的增大而减小 3 6 3单程衍射损耗 单程相移与谐振频率 2 菲涅耳数相同时 对于同一N值 随横模阶次的增大而增大 基模的损耗最低 2 单程相移 单程总相移为 腔模的 N曲线 1 对于同一横模 唯一地由N值决定 且随N的增大而减小 2 菲涅耳数相同时 对于同一N值 随模阶次的增大而增大 基模的最低 条状腔自再现模的谐振频率 可以忽略不计 因此 对于条状腔 自再现模的谐振频率采用公式 3 谐振频率 3 7对称共焦腔的自再现模 1 自再现模所满足的积分方程式及其解析解 积分方程的核 3 7 1方形镜对称共焦腔 尺寸 积分方程 无量纲变换 令 分离变量后的积分方程 精确解 用厄米 高斯函数近似代替本征方程的精确解 条件C或N很大 该条件是满足的 最初几阶厄米多项式 将X Y换成镜面上直角坐标x y 本征函数为 3 106式 高斯型分布 模的振幅从镜中心 x y 0 向镜边缘平滑减小 1 镜面上光场分布特征 2 方形镜共焦腔自再现模的特征 振幅分布 a 基模 基模光斑半径 基模在镜面上是个圆形亮班 中心部分最亮 向外逐渐减弱 无清晰的锐边 光强分布 振幅降至最大值的 或光强下降到最大值的 半功率点处光斑尺寸 基模的总功率为 包含在 光斑尺寸 内的功率为 可见 在光斑半径内 集中了总功率的86 5 重要特征 1 共焦腔的光斑半径与反射镜的横向几何尺寸无关 只决定于腔长 2 共焦腔的光斑半径很小 模场主要集中在镜面中心附近 b 高阶横模 模沿x方向有m条节线 沿y方向有n条节线 高阶模光斑半径 沿不同坐标分别计算 基模光斑半径 高阶模光斑半径 相位分布 由自再现模本征函数的幅角决定 长椭球函数为实函数 1 均匀平面波损耗 平行平面腔损耗 共焦腔损耗 2 共焦腔损耗随横模阶数m和n而增加 3 通常尺寸的共焦腔激光器 基模衍射损耗小到可以忽略 当菲涅耳数很小 N 1 时 衍射损耗才起显著作用 2 单程能量损耗 计算时必须用本征值的精确解 单程相移 附加相移 随横模阶次而变 与菲涅耳数无关 3 单程相移和谐振频率 谐振频率 谐振频率 谐振频率存在高度简并现象 即所有 2q m n 相等的模式具有相同的谐振频率 激光器容易出现多模振荡 同一纵模的相邻横模之间频率间隔 属于同一横模的相邻两纵模频率间隔 自再现模 共焦腔反射镜面上的场分布 行波场 共焦腔内或腔外任一点的场分布 3 方形镜共焦腔行波场的特征 共焦腔内任一点的行波场 3 124式 1 振幅分布 基模振幅分布和光斑尺寸 基模光斑尺寸 镜面上基模的光斑半径 z 0处基模光斑半径 光腰半径 双曲线 为共焦参数 任一横截面内都是高斯分布 基模振幅分布和光斑尺寸 光腰半径 该模式在腔内所能扩展的空间范围 2 模体积 模体积大 则输出功率大 模体积小 则输出功率小 基模集中在腔轴线附近 模阶次越高 模体积越大 对称共焦腔的基模模体积 对称共焦腔的高阶模模体积 基模的模体积很小 输出功率很低 例 p69 L 1m 放电管直径2cm的共焦腔二氧化碳激光器 基模模体积与工作物质体积之比为 共焦场的等相位面是凹向腔中心的近似球面 不同球面曲率中心不同 共焦场在两个镜面处的等相位面与镜面重合 曲率半径最小 3 等相位面分布 等相位面方程 等相位面的曲率半径 在两个反射镜面处 腔中心和无穷远处 等相位面为平面 4 远场发散角 双曲线的两条渐近线之间的夹角 高阶模发散角随模阶次的增大而增大 故多模振荡方向性变差 基模发散角 高阶横模发散角 理论发散角具有毫弧度数量级 方向性非常好 由两块相同的圆形球面镜组成 处理方法与方形镜相似 采用极坐标 精确解为超椭球函数 时 可任选一个 m 0时只能取cos项 1 拉盖尔 高斯近似 3 7 2圆形镜共焦腔 缔合拉盖尔多项式 最初几阶拉盖尔多项式 本征值的近似解 振幅分布 1 镜面上的光场分布 基模振幅 镜面上振幅分布为高斯型 中心处振幅最大 镜面上基模光斑半径 基模与方形镜共焦腔完全一样 2 圆形镜共焦腔自再现模的特征 高阶模振幅分布 为实函数 圆形镜共焦腔镜面本身是等相位面 相位分布 单程相移 谐振频率 频率上高度简并 如 谐振频率相同 同一横模不同纵模间隔 同一纵模不同横模间隔 拉盖尔 高斯近似不能分析模的损耗 3 圆形镜共焦腔的损耗比平面腔低的多 但比同阶方形镜共焦腔大 高阶模的光斑比方形镜大 镜的面积比方形镜小 1 所有模式的均随的增大而急剧减小 单程衍射损耗 2 基模的最小 模阶次越高 越大 3 圆形镜共焦腔行波场的特征 高阶横模的光场分布见3 152式 3 8一般稳定球面腔的模式特征 3 8 1一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 等价共焦腔 等价 具有相同的行波场 共焦腔等相位面的曲率半径 等价 1 任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价 在共焦腔任意两处放置两个与该处等相位面曲率半径相同的球面反射镜 双凹腔为例 2 共焦腔行波场内任取两点 等相位面曲率半径 凹向z轴正方向为负 反射镜的曲率半径 符号规则 反射镜曲率半径 凹面向着腔内为正 凸面向着腔内为负 2 任意一个稳定球面腔等价于唯一一个共焦腔 Z轴原点为等价共焦腔中点 等价 具有相同的行波场 实用意义 将共焦腔理论推广应用到一般稳定球面腔系统 等价依据 一般稳定球面腔两镜面为共焦腔的两个等相位面 总结 一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 例 有一球面腔 R1 1 5m R2 1m L 80cm 试证明该腔为稳定腔 求出它的等价共焦腔的参数 在图上画出等价共焦腔的具体位置 分析方法 求出其等价共焦腔 由等价共焦腔行波场公式得出 3 8 2一般稳定球面腔的模式特征 1 镜面上的光斑半径 任一位置的光斑光斑半径 得到球面腔镜面处的光斑半径 L为实际谐振腔腔长 为光腰半径 2 模体积 基模 书中有错 L为实际谐振腔腔长 非等价光焦腔腔长 高阶模 3 等相位面的分布 4 谐振频率 一般稳定球面腔反射镜面顶点处的位相因子 谐振条件 谐振频率 两个镜面处 等相位面与镜面重合 共焦腔菲涅耳数 共焦腔镜面上基模光斑半径 一般稳定球面腔等效菲涅耳数 5 单程衍射损耗 查曲线图 或由经验公式计算求得 即使两个镜面尺寸相等 等效菲涅尔数也不同 平均单程损耗