二次函数解析式的求法及其简单应用.doc

第16时 二次函数解析式的求法及其简单应用重庆市礼嘉中学 何江海【基础知识梳理】在二次函数的问题中，经常会遇到求二次函数解析式的问题。用待定系数法求二次函数的解析式有三种常用的方法1、设顶点式，即设 当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式2、设一般式，即设 一般的，知道三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求得函数解析式。3、已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：即设 【注意：求二次函数解析式，要根据具体图象特征灵活设不同的关系式，除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 ；以y轴为对称轴，可设 ；顶点在x轴上，可设 ；抛物线过原点可设 等】顶点式的几种特殊形式. yxO3x=1图1【基础诊断】1. 抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 2.已知关于的二次函数图象顶点（1，-1），且图象过点（0，-3），则这个二次函数解析式为 。3.已知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。【精典例题】例1（2012佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；y随x变化的部分数值规律如下表：x-10123y03430有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质点拨：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象，二次函数的性质关键是熟练掌握二次函数的三种形式，灵活运用解析式的三种形式解题例2（2012珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点BABCOxy（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b（x-2）2+m的x的取值范围点拨：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键例3.（2011湖南永州）如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0，7）两点求该抛物线的解析式及对称轴；当为何值时，？在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标【自测训练】A基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1（2012株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（） A（-3，0） B（-2，0） Cx=-3 Dx=-22. （2011江苏无锡，）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 33.把函数y=2x2+1的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为（ ）。 A、y=2x2 B、y=2x2-1 C、y=2(x+1)2 D、y=2(x1)2 4（2012年四川德阳）在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿轴方向向右平移2个单位长度后再沿轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是A.（，1） B.（1，）C.（2，）D.（1，）5. （2011泰安）若二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表：x765432y27133353则当x1时，y的值为（）A5B3 C13D27二、填空题1.当m=_时，函数y = (m2 4)x + 3是二次函数，其解析式是_2（2012无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 3对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（2，6）的抛物线的解析式为 4一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为_5抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5，并且经过点（0，5），这个函数解析式为_三、解答题1. （2011重庆江津）已知双曲线与抛物线y=ax2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出ABC的面积,yx11o-1-12（2012佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且SOAB=3，求点B的坐标3. （2011湖南湘潭）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. OCBA 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.B提升训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1.若抛物线的顶点在x轴下方，则m的值为 ( )(A) m=5 (B)m=-1 (C) m=5或m=-1 (D) m=-52若y=ax2+bx+c，则由表中信息可知与的函数关系式是（ ）x-101ax21y=ax2+bx+c83A. y=x24x+3 B. y=x23x+4 C. y=x23x+3 D. y=x24x+83. 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于（ ）(A)2，-2 (B)-6，6 (c)-8，14 (D)-8，18.4.（2012桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）Ay=（x+1）2-1 By=（x+1）2+1 Cy=（x-1）2+1 Dy=（x-1）2-1 5.（2011包头）已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15a，则b的值是（）A、4或30 B、30 C、4 D、6或20二、填空题1（2012宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180后得到的图象的解析式为 2.（ 2011重庆江津）将抛物线y=x22x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是_.3.（2011浙江舟山）如图，已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当随的增大而增大时，的取值范围是 4已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3，则= ，= 5(2012扬州)如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是 三、解答题1如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点AO、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由2（2012遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQO与AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由3（2012湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标答案提示：【基础诊断】y=-x2+2x+3 y=-2(x-1)2-1 y=2x2+2x-4【精典例题】例1（1）抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；（2）抛物线y=-x2+2x+3的性质如：对称轴为x=1，当x=1时，函数有最大值为4，当x1时，y随x的增大而增大例2（1）二次函数解析式为y=（x-2）2-1一次函数解析式为y=x-1；（2）1x4例3（1）该抛物线的解析式为。对称轴为直线。（2）当函数值时，的解为。结合图象，容易知道时，。（3）点C的坐标为（1，4）。【自测训练】A 基础训练ACBBD m=3 y=5x2+3 ； y=-x2+4x-3； y=-3x2+6； y=-2（x-2）2+1； y=x2-6x+5解答题1(1)把点A(2,3)代入得 ：k=6 反比例函数的解析式为： 把点B(m,2)、C(3,n)分别代入得： m=3,n=2 把A(2,3)、B(3,2)、C(3,2)分别代入y=ax2+bx+c得： 解之得 抛物线的解析式为：y=(2)描点画图SABC=(1+6)51164=5A(2,3)yx11o-1-1B(2,3)C(-2,-3)2 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得，解得 ，所以解析式为y=x2-2x。（2）y=x2-2x=（x-1）2-1，顶点为（1，-1），对称轴为：直线x=1 。（3）设点B的坐标为（a，b），则2|b|=3，解得b=3或b=-3，顶点纵坐标为-1，-3-1 （或x2-2x=-3中，x无解）b=3，x2-2x=3，解得x1=3，x2=-1所以点B的坐标为（3，3）或（-1，3）.3解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。直线交轴于A点，交轴于B点，A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.又抛物线经过A、B、C三点，解得：，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为x=1设Q点坐标为（1，m），则，又.当AB=AQ时， ，解得：，Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，1）抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形B提升训练BABCC y=-（x+1）2-2 ； y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+27； ；b=-4, c=3； 1 .解答题1解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为（2，2）；（2）抛物线过原点O和点AB，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（22）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OB=OP，（21世纪教育网版权所有）则22+|y|2=42，解得y=2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2），2解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a0），又函数的顶点坐标为（3，），解得：，故函数解析式为：，由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；（2）SPOA=2SAOB，点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为，代入函数解析式得：=，解得：x1=3+3，x2=3-3，即满足条件的点P有两个，其坐标为：P1（3+3，），P2（3-3，）（3）存在过点B作BPOA，则tanBAP=，故可得BOA=30，设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1Fx轴，OABOQ1A，Q1OA=30，故可得OF= 3 Q1F，即x=（），解得：x=9或x=0（舍去），经检验得此时OA=AQ1，OQ1A是等腰三角形，且和OBA相似即可得Q1坐标为（9，3 ），根据函数的对称性可得Q2坐标为（-3，3）在抛物线上存在点Q，使AQO与AOB相似，其坐标为：（9，3）或（-3，3）3解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a42，即：a=；抛物线的解析式为：y=x2x2(21世纪教育网版权所有)（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OC