24.1.2垂直于弦的直径.1.2垂直于弦的直径教学设计1（陈树生）doc.doc

24.1.2垂直于弦的直径教学设计上杭县旧县中学 陈树生【教学内容】24.1.2垂直于弦的直径（新人教版九年级数学教材P81P83）【教学目标】1.理解圆的对称性，掌握垂径定理及其推论。2.能运用垂径定理解决一些实际问题。【教学重点】垂径定理及推论。【教学难点】垂径定理的应用。【教学方法】探究发现法。【教具准备】圆形纸片、多媒体、三角板、圆规。【教学设计】 一、教学活动设计：二、教学过程设计：（一）实例导入，激疑引趣 1实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的智慧结晶。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1）（二）尝试诱导，发现定理 1复习过渡： 如图2(a)，弦AB将O分成几部分？各部分的名称是什么？ 如图2(b)，将弦AB变成直径，O被分成的两部分叫什么？ 在图2(b)中，若将O沿直径AB对折，两部分是否重合？ (a) (b) （图2） （图3）2实验操作：（1）让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。（2）作直径CD，再作O的一条弦AB，使ABCD，垂足为E；将O 沿着直径折叠。通过操作，你能发现相等的线段有 ，相等的弧有 .3提出猜想：根据以上的探究，我们可以大胆提出这样的猜想 CD是的直径， EAEB，三、引导探究，证明定理1验证猜想：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。 证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：在下列图形（如图4(a)(d)）中，AB是O的弦，CD是O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。(a)ABCD于E (b)E是AB中点 (c)OCAB于E (d)OEAB于E（图4）向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。4延伸定理请问：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？l 垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧用几何语言表示：如图3，在O中，CD是直径，若AEEB.CDAB， 思考：这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？（举反例说明）思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来.归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外三个结论.（四）例题示范，变式练习1运用定理进行计算。【例1】如图5，在O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。（图5） 分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作辅助线OEAB；因为要求半径，所以要连结OA。 解：（略） 【变式】在图5中，若O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= 。【思考】若圆的半径为r，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d， 则r、a、d三者之间的关系式是 。 【试一试】你能用垂径定理求出赵州桥的半径吗？2运用定理进行证明。【例2】已知：如图6，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：ACBD。 （图6）分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？ （证明OACOBD或证明OADOBC） 此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？ 证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。证法二：过点O作OEAB于E，用“垂径定理”证明。注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注2：辅助线“过圆心作弦心距”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。【证一证】教材P83练习第2题如图，在中，、为互相垂直且相等的两条弦，于，于.求证：四边形为正方形。（五）当堂评测，反馈矫正1.如图，AB是O的直径，BC是弦，ODBC,垂足为D，已知OD=5，则弦AC=_2.如图，O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为_ A. 2 B. 3 C. 4 D. 53.在半径为5cm的圆中，弦ABCD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是_ A. 7cm B. 1cm C. 7cm 或4cm D.7cm或1cm ABCODAOMB（六）师生小结，纳入系统1定理的三种基本图形如图7、8、9。2计算中三个量的关系如图10，。3证明中常用的辅助线作弦心距。（图7） （图8） （图9） （图10）（七）布置作业，反馈效果 1完成课本P89-90习题第2、8、9题。 2完成优化设计本课时内容。 （八）教学反思、总结提高板书设计：24.1.2垂直于弦的直径1、 圆是轴对称图形， 例（习）题教学：对称轴是直径所在的直线。2、 垂径定理：推论：3、 附：24.1.2垂直于弦的直径测评练习 姓名 1.如图，AB是O的直径，BC是弦，ODBC,垂足为D，已知OD=5，则弦AC=_2.如图，O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动