弹性力学的三维问题.ppt

弹性力学的三维问题 在内燃机中 许多零部件如缸盖 机架 组合活塞等 难以简化为平面问题或轴对称问题 必需按三维问题求解 才能得到比较准确的结果 对结构的分析 一般采用六面体单元 这是因为将一个结构分割成六面体单元比其他形状的单元方便的多 一弹性力学基本方程弹性体内任一点的应力分量用列矩阵 来表 示 1 126 1应变 位移方程弹性体内任一点的位移 用它在x y z三个方向的分量u v w来表示 这一点的应变 用等六个分量来表示 描述应变于位移之间关系的微分方程 用一个矩阵来表示 1 127 2应力 应变方程设所研究的弹性体是连续 均匀而且是各向同性的 应力与应变之间的关系由下式描述 1 128 设弹性矩阵则式 1 128 可写成 1 129 1 130 3初应变在应力分析中 如果考虑由于温度变化而引起的热应力 则弹性体的初应变为 应力与应变的关系为 1 132 1 131 二八节点六面体等参数单元 八节点六面体单元 其八个节点1 2 3 8的整体坐标分别为 局部坐标为 将位移差值函数取为 将八个节点位移值 代入上式 可以 得到位移插值函数得表达式 1 133 同理可以得到另外两个位移插值函数得表达式 1 134 1 135 形状函数 1 136 i 1 2 3 8 将位移插值函数写成矩阵形状 式中 1 137 单元八个节点得局部坐标为 根据等参数单元得方法 有坐标变换式 1 138 利用坐标变化式 1 138 可将八节点正六面体变换成任意直棱六面体单元 三 二十节点六面体等参数单元 当结构具有复杂的曲面边界时 通常采用二十节点曲棱曲面六面体单元 来更好的逼近边界 一个二十节点的六面体单元 取其八个顶点和十二条棱边的中点为节点 编号为1 2 20的节点的整体坐标分别为 考察在局部坐标下边长为2的正方体单元 也将八个顶点和十二条棱的中点取做节点 原点取在中心 相应的局部坐标分别为 将各单元的插值函数取为 1 139 由节点的位移值可以确定单元位移插值函数为 1 140 并得到坐标变换式为 1 141 上两式中 形状函数为 1 142 i 1 3 5 7 13 15 17 19 i 2 6 14 18 i 4 8 16 20 i 9 10 11 12 其中 i 1 2 20 将单元位移插值函数 1 140 写成矩阵形式 有 1 144 1 143 1 145 利用坐标变换式 1 141 可以将二十节点正六面体变换成曲棱曲面的六面体单元 四 位移 应变方程 由式 1 127 式 1 137 式 1 140 可以得到六面体单元的位移 应变方程 1 146 式中 1 147 1 148 子矩阵 i 1 2 p 1 149 其中p为节点数目 对于八节点六面体等参数单元 p 8对于二十节点六面体等参数单元 p 20 由于六面体等参数单元的形状函数式局部坐标下的 它们不能直接对整体坐标 x y 微分 需采用复合求导法则 既 1 150 将上式写成矩阵形式 1 151 记雅克比矩阵 1 152 则 1 151 可写为 1 153 将坐标变换式 1 138 或式 1 141 代入 1 152 可得到 1 154 由上式可进一步求出 的逆矩阵 于是可以得到 1 155 利用上式就可以求得各个形状函数对于整体坐标的倒数 五 高斯求积法 在求等参数单元刚度矩阵和载荷矩阵时 需要计算下述复杂积分 对于二维问题 对于三维问题 1 156 由于被积函数很复杂 工程上常采用数值积分的方法 如果在单元内选定某些积分点 求出被积函数在这些点的数值 根据这些数值求出积分式的值 采用高斯法求数值积分时 在单元内选用少数的积分点 就可以得到较高的精度 对于二维问题高斯求积公式为 1 157 对于二维问题高斯求积公式为 其中 i 1 2 n 为高斯求积节点 i 1 2 n 为相应的加权系数 其中 i 1 2 n 为高斯求积节点 i 1 2 n 为相应的加权系数 1 158 计算时 应先确定高斯点的数目 对于四节点四边形等参数单元 n取为2 总的积分点数取为4 对于八节点四边形等参数单元 n取为3 总积分点数取为9 对于八节点六面体等参数单元 n取为2 总的积分点数为8 对于二十节点的六面体等参数单元 n取为3 总的积分点数为27 六 单元刚度矩阵 六面体刚度矩阵表达式 1 159 将上式写成分块矩阵的形式 1 160 其中子矩阵为 s t 1 2 p 1 161 由坐标变换式 有 于是式 1 161 可以写成 1 162 利用 1 158 上式又可以写成 1 163 这是一个3 3的矩阵 将式 1 129 1 152 1 155 1 149 代入上式可以求出子矩阵各元素 七 负荷向量的计算 一 集中力向量在单元的任一节点上作用有集中载荷 时 可直接将载荷放置在载荷矩阵的对应位置上 形成结构的负荷向量 1 164 二 表面力向量设作用在单元边界单位面积上的表面力 则作用在单元边界上的表面力向量 如果设 作用的边界面 在局部坐标下是 的面 则作用在其上的面积微分 应为 式中 于是 单元的表面力向量 上式通常采用高斯求积法进行数值积分 既 1 165 三 体积力向量 设作用在单元上的单位体积力 则作用在单元上的体积力向量为 式中 I为三阶单位矩阵 应用高斯积分 得到单元体积力向量 1 166 由上述单元集中力向量 表面力向量和体积力向量进行叠加 就可以得到结构的负荷向量 八 应力分量计算 由单元刚度矩阵进行叠加而形成整体刚度矩阵 加上已形成的节点载荷向量 就可以求解线性代数方程组 而得到节