高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14_2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明课件 理 新人教版

14 2不等式选讲 第2课时不等式的证明 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 比较法 作差比较法 知道a b a b 0 ab只要证明即可 这种方法称为作差比较法 作商比较法 由a b 0 1且a 0 b 0 因此当a 0 b 0时 要证明a b 只要证明即可 这种方法称为作商比较法 1 不等式证明的方法 知识梳理 a b 0 2 综合法 从已知条件出发 利用不等式的有关性质或定理 经过推理论证 最终推导出所要证明的不等式成立 这种证明方法叫综合法 即 由因导果 的方法 3 分析法 从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件 定理等 从而得出要证的不等式成立 这种证明方法叫分析法 即 执果索因 的方法 4 反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 这种方法叫做反证法 在证明不等式时 有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小 此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显 从而得出原不等式成立 这种方法称为放缩法 5 数学归纳法 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 证明当n n0时命题成立 假设当n k k N 且k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 1 柯西不等式 柯西不等式的代数形式 设a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 当且仅当ad bc时 等号成立 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数k 使 k 时 等号成立 2 几个常用基本不等式 ac bd 2 考点自测 解答 解答 12 12 12 a b c 3 x 0 y 0 解答 题型分类深度剖析 例1 1 已知x y均为正数 且x y 求证 2x 2y 3 题型一用综合法与分析法证明不等式 证明 因为x 0 y 0 x y 0 证明 只需证明 a b c 2 3 即证 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需证明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即证 a2 b2 c2 ab bc ca 所以原不等式成立 思维升华 用综合法证明不等式是 由因导果 用分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 跟踪训练1设a b c均为正数 且a b c 1 证明 证明 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 证明 例2若a b R 求证 当 a b 0时 不等式显然成立 当 a b 0时 题型二放缩法证明不等式 证明 思维升华 1 在不等式的证明中 放 和 缩 是常用的推证技巧 常见的放缩变换有 利用函数的单调性 真分数性质 若00 2 在用放缩法证明不等式时 放 和 缩 均需把握一个度 跟踪训练2 证明 由2n n k n k 1 2 n 得 原不等式成立 题型三柯西不等式的应用 证明 2 若x 2y 3z 6 求x2 y2 z2的最小值 解答 思维升华 1 使用柯西不等式证明的关键是恰当变形 化为符合它的结构形式 当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时 就可使用柯西不等式进行证明 2 利用柯西不等式求最值的一般结构为 1 1 1 2 n2 在使用柯西不等式时 要注意右边为常数且应注意等号成立的条件 证明 由柯西不等式及题意得 课时作业 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 已知x y 1 求2x2 3y2的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 即a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由柯西不等式可得 x2 y2 z2 12 22 32 x 2y 3z 2 即 x 2y 3z 2 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 又a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 已知a b c R 且2a 2b c 8 求 a 1 2 b 2 2 c 3 2的最小值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由柯西不等式得 4 4 1 a 1 2 b 2 2 c 3 2 2 a 1 2 b 2 c 3 2 9 a 1 2 b 2 2 c 3 2 2a 2b c 1 2 2a 2b c 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 1 a b 2 2 a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 2 假设a2 a 2与b2 b 2同时成立 则由a2 a 2及a 0得0 a 1 同理 0 b 1 从而ab 1 这与ab 1矛盾 故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 求M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以f x 2的解集M x 1 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 证明 当a b M时 a b 1 ab 由 1 知 当a b M时 1 a 1 1 b 1 从而 a b 2 1 ab 2 a2 b2 a2b2 1 a2 1 1 b2 0 即 a b 2 1 ab 2 因此 a b 1 ab 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 1 关于x的不等式 x 3 x 4 a的解集不是空集 求a的取值范围 x 3 x 4 x 3 x 4 1 且 x 3 x 4 1 即a的取值范围是 1 由柯西不等式 得 x y z 2 即25 1 x y z 2 5 x y z 5 x y z 5 x y z的取值范围是 5 5 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 已知a b 0 a b 1 x1 x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 因为a b 0 a b 1 x1 x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 2 求证 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一由a b 0 a b 1 x1 x2 0 及柯西不等式可得 所以 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 方法二因为a b 0 a b 1 x1 x