高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12_6离散型随机变量的均值与方差正态分布课件理北师大版

12 6离散型随机变量的均值与方差 正态分布 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 离散型随机变量的均值与方差 知识梳理 若离散型随机变量X的分布列为P X ai pi i 1 2 r 1 均值EX 均值EX刻画的是 2 方差DX 为随机变量X的方差 它刻画了随机变量X与其均值EX的 a1p1 a2p2 arpr X取值的 中心位置 E X EX 2 平均偏离程度 2 二项分布的均值 方差若X B n p 则EX DX 3 正态分布 1 X N 2 表示X服从参数为的正态分布 2 正态分布密度函数的性质 函数图像关于对称 决定函数图像的 胖 瘦 P X P 2 X 2 P 3 X 3 np np 1 p 和 2 直线x 0 的大小 95 4 68 3 99 7 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 随机变量的均值是常数 样本的平均数是随机变量 它不确定 2 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离变量的平均程度越小 3 正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布 参数 是正态分布的均值 是正态分布的标准差 4 一个随机变量如果是众多的 互不相干的 不分主次的偶然因素作用结果之和 它就服从或近似服从正态分布 5 均值是算术平均数概念的推广 与概率无关 考点自测 1 教材改编 某射手射击所得环数 的分布列如下 答案 解析 已知 的均值E 8 9 则y的值为 A 0 4B 0 6C 0 7D 0 9 答案 解析 2 设随机变量 的分布列为P k k 2 4 6 8 10 则D 等于 A 8B 5C 10D 12 3 已知随机变量X 8 若X B 10 0 6 则随机变量 的均值E 及方差D 分别是A 6和2 4B 2和2 4C 2和5 6D 6和5 6 答案 解析 DX 10 0 6 1 0 6 2 4 设随机变量X的均值及方差分别为EX DX 因为X B 10 0 6 所以EX 10 0 6 6 故E E 8 X 8 EX 2 D D 8 X DX 2 4 4 设样本数据x1 x2 x10的均值和方差分别为1和4 若yi xi a a为非零常数 i 1 2 10 则y1 y2 y10的均值和方差分别为 答案 解析 1 a 4 5 某班有50名学生 一次考试的数学成绩 服从正态分布N 100 102 已知P 90 100 0 3 估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 答案 解析 10 题型分类深度剖析 题型一离散型随机变量的均值 方差 命题点1求离散型随机变量的均值 方差例1 2016 山东 甲 乙两人组成 星队 参加猜成语活动 每轮活动由甲 乙各猜一个成语 在一轮活动中 如果两人都猜对 则 星队 得3分 如果只有一个人猜对 则 星队 得1分 如果两人都没猜对 则 星队 得0分 已知甲每轮猜对的概率是 乙每轮猜对的概率是 每轮活动中甲 乙猜对与否互不影响 各轮结果亦互不影响 假设 星队 参加两轮活动 求 1 星队 至少猜对3个成语的概率 解答 记事件A 甲第一轮猜对 记事件B 乙第一轮猜对 记事件C 甲第二轮猜对 记事件D 乙第二轮猜对 记事件E 星队 至少猜对3个成语 由事件的独立性与互斥性 2 星队 两轮得分之和X的分布列和均值EX 解答 由题意 得随机变量X可能的取值为0 1 2 3 4 6 由事件的独立性与互斥性 得 可得随机变量X的分布列为 命题点2已知离散型随机变量的均值与方差 求参数值例2设袋子中装有a个红球 b个黄球 c个蓝球 且规定 取出一个红球得1分 取出一个黄球得2分 取出一个蓝球得3分 1 当a 3 b 2 c 1时 从该袋子中任取 有放回 且每球取到的机会均等 2个球 记随机变量 为取出此2球所得分数之和 求 的分布列 解答 由题意得 2 3 4 5 6 所以 的分布列为 解答 由题意知 的分布列为 解得a 3c b 2c 故a b c 3 2 1 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 1 求离散型随机变量的均值与方差 可依题设条件求出离散型随机变量的分布列 然后利用均值 方差公式直接求解 2 由已知均值或方差求参数值 可依据条件利用均值 方差公式得出含有参数的方程 组 解方程 组 即可求出参数值 3 由已知条件 作出对两种方案的判断 可依据均值 方差的意义 对实际问题作出判断 思维升华 跟踪训练1 2015 四川 某市A B两所中学的学生组队参加辩论赛 A中学推荐了3名男生 2名女生 B中学推荐了3名男生 4名女生 两校所推荐的学生一起参加集训 由于集训后队员水平相当 从参加集训的男生中随机抽取3人 女生中随机抽取3人组成代表队 1 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率 解答 因此 A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 2 某场比赛前 从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛 设X表示参赛的男生人数 求X的分布列和均值 解答 根据题意 X的可能取值为1 2 3 所以X的分布列为 题型二均值与方差在决策中的应用 例3 2016 全国乙卷 某公司计划购买2台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率 记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 解答 1 求X的分布列 由柱状图并以频率代替概率可得 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8 9 10 11的概率分别为0 2 0 4 0 2 0 2 从而P X 16 0 2 0 2 0 04 P X 17 2 0 2 0 4 0 16 P X 18 2 0 2 0 2 0 4 0 4 0 24 P X 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 P X 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 P X 21 2 0 2 0 2 0 08 P X 22 0 2 0 2 0 04 所以X的分布列为 2 若要求P X n 0 5 确定n的最小值 解答 由 1 知P X 18 0 44 P X 19 0 68 故n的最小值为19 3 以购买易损零件所需费用的均值为决策依据 在n 19与n 20之中选其一 应选用哪个 解答 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 当n 19时 EY 19 200 0 68 19 200 500 0 2 19 200 2 500 0 08 19 200 3 500 0 04 4040 当n 20时 EY 20 200 0 88 20 200 500 0 08 20 200 2 500 0 04 4080 可知当n 19时所需费用的均值小于n 20时所需费用的均值 故应选n 19 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 思维升华 针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 解答 若按 项目一 投资 设获利为X1万元 则X1的分布列为 若按 项目二 投资 设获利X2万元 则X2的分布列为 所以EX1 EX2 DX1 DX2 这说明虽然项目一 项目二获利相等 但项目一更稳妥 综上所述 建议该投资公司选择项目一投资 题型三正态分布的应用 A P Y 2 P Y 1 B P X 2 P X 1 C 对任意正数t P X t P Y t D 对任意正数t P X t P Y t 答案 解析 对于A项 因为正态分布曲线关于直线x 对称 所以 10 5 P Y 2 故A项错误 对于B项 因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更 瘦高 所以 1 2 所以P X 1 P X 2 故B项错误 对于C项 由图像可知 在y轴的右侧某处 显然满足P X t P Y t 故C项错误 对于D项 在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行线 可知在任何情况下 X的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积 即对任意正数t P X t P Y t 故D项正确 2 从某企业生产的某种产品中抽取500件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频率分布直方图 解答 由 知 Z N 200 150 从而P 187 8 Z 212 2 P 200 12 2 Z 200 12 2 0 6826 解答 某用户从该企业购买了100件这种产品 记X表示这100件产品中质量指标值位于区间 187 8 212 2 的产品件数 利用 的结果 求EX 由 知 一件产品的质量指标值位于区间 187 8 212 2 的概率为0 6826 依题意知X B 100 0 6826 所以EX 100 0 6826 68 26 解答 解决正态分布问题有三个关键点 1 对称轴x 2 标准差 3 分布区间 利用对称性可求指定范围内的概率值 由 分布区间的特征进行转化 使分布区间转化为3 特殊区间 从而求出所求概率 注意只有在标准正态分布下对称轴才为x 0 思维升华 跟踪训练3 2015 山东 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布N 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布N 2 则P 68 26 P 2 2 95 44 A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74 答案 解析 由正态分布的概率公式知P 3 3 0 6826 P 6 6 0 9544 典例 12分 2016 湖北六校联考 在2016年全国高校自主招生考试中 某高校设计了一个面试考查方案 考生从6道备选题中一次性随机抽取3题 按照题目要求独立回答全部问题 规定 至少正确回答其中2题的便可通过 已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答 2题不能回答 考生乙每题正确回答的概率都为 且每题正确回答与否互不影响 1 分别写出甲 乙两考生正确回答题数的分布列 并计算其均值 2 试用统计知识分析比较两考生的通过能力 离散型随机变量的均值与方差问题 答题模板系列8 规范解答 答题模板 故其分布列为 P 2 P 2 从回答对题数的均值考查 两人水平相当 从回答对题数的方差考查 甲较稳定 从至少正确回答2题的概率考查 甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的通过能力较强 12分 返回 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步 确定随机变量的所有可能值 第二步 求每一个可能值所对应的概率 第三步 列出离散型随机变量的分布列 第四步 求均值和方差 第五步 根据均值 方差 进行判断 并得出结论 适用于均值 方差的应用问题 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 返回 课时作业 1 2016 郑州一模 某班举行了一次 心有灵犀 的活动 教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学 这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学 若小组内同学甲猜对成语的概率是0 4 同学乙猜对成语的概率是0 5 且规定猜对得1分 猜不对得0分 则这两个同学各猜1次 得分之和X 单位 分 的均值为A 0 9B 0 8C 1 2D 1 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由题意得X 0 1 2 则P X 0 0 6 0 5 0 3 P X 1 0 4 0 5 0 6 0 5 0 5 P X 2 0 4 0 5 0 2 EX 1 0 5 2 0 2 0 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2017 芜湖质检 若X B n p 且EX 6 DX 3 则P X 1 的值为A 3 2 2B 2 4C 3 2 10D 2 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 设随机变量X N 2 且X落在区间 3 1 内的概率和落在区间 1 3 内的概率相等 若P X 2 p 则P 0 X 2 等于 由X落在 3 1 内的概率和落在 1 3 内的概率相等得 0 又 P X 2 p P 2 x 2 1 2p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 答案 解析 20 记此人三次射击击中目标次数为X 得分为Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 设 至少有一个系统不发生故障 为事件C 那么 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 2 设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的分布列及均值E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 由题意 得随机变量 可能的取值为0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以 随机变量 的分布列为 故随机变量 的均值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2016 汕尾调研 为了解某市高三学生身高情况 对全市高三学生进行了测量 经分析 全市高三学生身高X 单位 cm 服从正态分布N 160 2 已知P X 150 0 2 P X 180 0 03 1 现从该市高三学生中随机抽取一名学生 求该学生身高在区间 170 180 的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由全市高三学生身高X服从N 160 2 P X 150 0 2 得P 160 X 170 P 150 X 160 0 5 0 2 0 3 因为P X 180 0 03 所以P 170 X 180 0 5 0 3 0 03 0 17 故从该市高三学生中随机抽取一名学生 该学生身高在区间 170 180 的概率为0 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 现从该市高三学生中随机抽取三名学生 记抽到的三名学生身高在区间 150 170 的人数为 求随机变量 的分布列和均值E 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以P 0 1 0 6 3 0 064 P 1 3 0 6 1 0 6 2 0 288 P 2 3 0 62 1 0 6 0 432 P 3 0 63 0 216 所以 的分布列为 因为P 150 X 170 P 150 X 160 P 160 X 170 0 3 0 3 0 6 服从二项分布B 3 0 6 所以E 3 0 6 1 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2016 泉州模拟 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了甲 乙两种抽奖方案 方案甲的中奖率为 中奖可以获得2分 方案乙的中奖率为 中奖可以获得3分 未中奖则不得分 每人有且只有一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为X 求X 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的均值较大 解答 记 这2人的累计得分X 3 为事件A 则事件A的对立事件为 X 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 设小明 小红都选择方案甲抽奖的中奖次数为X1 都选择方案乙抽奖的中奖次数为X2 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E 2X1 选择方案乙抽奖累计得分的均值为E 3X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为E 2X1 E 3X2 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 累计得分的均值较大 记 这2人的累计得分X 3 为事件A 则事件A包含有 X 0 X 2 X 3 三个两两互斥的事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1 都选择方案乙所获得的累计得分为X2 则X1 X2的分布列如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为EX1 EX2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 累计得分的均值较大 9 为回馈顾客 某商场拟通过模拟兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的