微积分辅导讲座---等式代换.ppt

微积分辅导讲座 龚漫奇 一 数学解题的唯一工具 等式代换 其他照抄 即已知 口 O 时 可用 口 换 O 其他照抄 等式 公式 要背 代换 要用换元 数学最大的技巧 换元 把反复出现的一团东西用一个字表示 照抄 少错是素质 下略 例3 已知f x 的导数是sinx 则f x 的原函数 不要遗漏 解 所求 例3 已知f x 的导数是sinx 则f x 的原函数 不要遗漏 解 所求 sinx C 错 拍脑袋做题法不行 正解 先把语言翻译成数学语言 如等式 常用 已知 所求 再背移项公式 所求 类似题 教材P64 8 已知f在0连 证f在R连 二 用微积分基础理论 利用f导数的正负确定f的增减 可得f的草图 故可知f的极值 最值 值域 不等式 f x 0有几个根 等 造辅助函数H x 求解的题型 先简述下面 1 证恒等式 2 证 3 证不等式 4 求方程 左 右 的根的个数 左 右 令H x 左 右 再用基础理论 也可将 左 右 做恒等变形 如乘除移项 两边取ln等 再做 令H x 接着背0点定理 或令H x 左 右 令H x 左 右 再用基础理论 接着背罗尔定理 令H x 左 右 再用基础理论 也可将 左 右 做恒等变形再做 下同 例4 f在 0 1 二阶可导 f 0 f 1 证方程 在 0 1 内存在根 用前面 2 证 令H x 接着背0点定理 或令H x 接着背罗尔定理 也可将 左 右 做恒等变形再做 下同 证 令H x C略 下面背罗尔 发现H 0 不 H 1 又发现f 0 f 1 没用 用一下试试 证毕 例5 教材P144 12 已知f 0 1 且 用前面 1 证恒等式 左 右 令H x 左 右 再用基础理论 也可将 左 右 做恒等变形 如乘除移项 两边取ln等 再做 令H x 左 右 证 做恒等变形 乘除移项 二 用微积分基础理论 造辅助函数H x 求解的题型 2 证 令H x 接着背0点定理 或令H x 接着背罗尔定理 也可将 左 右 做恒等变形再做 下同 下面着重介绍上述 变形 的一个方法 分离变量法以及相应的去 ln 用的H x 分离变量法 把f x f x 放在等号的一边 x放在等号的另一边 接上 三 极限计算 步1 代值定型 步2 变形 多法略 步3 洛必达法则 转步1 其他方法 分出可算部分先算 的思想 等价替换乘除因子 凑导数定义 利用小 o 泰勒公式 等 例6 期中卷32改 已知f的三阶导数连续 思路 会做什么先做什么 算左应 不管右 三 极限计算 步1 代值定型 步2 变形 多法略 步3 洛必达法则 转步1 解 左 此时 左 此时 左 由 左 右 0 得 创造条件事 例7 教材P148 16 求 三 极限计算 步1 代值定型 步2 变形 多法略 步3 洛必达法则 转步1 解 原 为代值 初等事 所以要用应背的变形法 故 原 由等价替换乘除因子可得 问分子的sinx可换x吗 不行 原 下面介绍一种解难题的思想 分出可算部分先算 相应的极限公式 应背 为 续 原 分乘部分 续 原 分加部分 见下页 毛思 接上页 例8 期中卷32不改 已知f具有二阶导数 没时间不讲 解 此时 左 但不能用洛 否则出现 用 不定式 用凑导数定义 毛思 左 左 搬到下页 例8 期中卷32不改 已知f具有二阶导数 解 左 左 用凑导数定义 毛思 右 0 得 例9 已知 求x 0时 f的单调 区间 值域 值域对应的不等式 类似期中卷5 微积分基础理论 利用f导数的正负确定f的增减 可得f的草图 故可知f的极值 最值 值域 不等式 解 0 0 毛思 0 所以f的单减区间为 故值域为 其中 值域结果为 对应的不等式为 提出恒正因子是解这类难题的关键 三 微分问题与积分问题互化的思想 1 接着背罗尔定理即可得证 1 不行 2 当x离2近时用 1 当x离4近时用 2 分部 找c使上式最小 由几何 2c4 c 3时 上 M 令c 3 M 四 资料 1 电子资料 参考卷 期中1份 期末1份 本讲座讲稿 在本电脑 想要的课后到前面复制 2 复印资料 课程应背公式 应会题型 经典题目 无解答 我汇编在一起 上册5张纸 下册7张纸 空解1纸 初等2张纸 如有人想要 可在课后到以班为单位到通信学院学生会处预定 他们帮你印 每份 2元 这也是我