高考数学总复习 高考大题专项突破3 高考中的数列课件 文 新人教a版

高考大题专项突破三高考中的数列 从近五年高考试题分析来看 高考数列解答题主要题型有 等差 等比数列的综合问题 证明一个数列为等差或等比数列 求数列的通项及非等差 等比数列的前n项和 证明数列型不等式 命题规律是解答题每两年出现一次 命题特点是试题题型规范 方法可循 难度稳定在中档 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一等差 等比数列的综合问题突破策略一公式法对于等差 等比数列 求其通项及求前n项的和时 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 例1 2017北京 文15 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 1 求 an 的通项公式 2 求和 b1 b3 b5 b2n 1 解 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a2 a4 10 所以2a1 4d 10 解得d 2 所以an 2n 1 2 设等比数列 bn 的公比为q 因为b2b4 a5 所以b1qb1q3 9 解得q2 3 所以b2n 1 b1q2n 2 3n 1 从而b1 b3 b5 b2n 1 1 3 32 3n 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练1在等比数列 an 中 已知a1 2 a4 16 1 求数列 an 的通项公式 2 若a3 a5分别为等差数列 bn 的第4项和第16项 试求数列 bn 的通项公式及其前n项和Sn 解 1 设 an 的公比为q 由已知得16 2q3 解得q 2 an 2n 2 由 1 得a3 8 a5 32 则b4 8 b16 32 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 突破策略二转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和 都可以通过变形 整理 把数列转化为等差数列或等比数列 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 例2在数列 an 中 a1 1 数列 an 1 3an 是首项为9 公比为3的等比数列 1 求a2 a3 2 求数列的前n项和Sn 解 1 数列 an 1 3an 是首项为9 公比为3的等比数列 an 1 3an 9 3n 1 3n 1 a2 3a1 9 a3 3a2 27 a2 12 a3 63 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练2设 an 是公比大于1的等比数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和Tn 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二证明数列为等差或等比数列突破策略一定义法 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例3已知数列 an 是等差数列 且a1 a2 a1 a2 分别为方程x2 6x 5 0的两根 1 求数列 an 的前n项和Sn 1 解解方程x2 6x 5 0得其两根分别为1和5 a1 a2 a1 a2 分别为方程x2 6x 5 0的两根 a1 1 a2 5 等差数列 an 的公差为4 bn 1 bn 2 n 1 2n 2 b1 2 bn 是以2为首项 公差为2的等差数列 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练3 2017全国 文17 设Sn为等比数列 an 的前n项和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并判断Sn 1 Sn Sn 2是否成等差数列 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 突破策略二递推相减化归法对已知数列an与Sn的关系 证明 an 为等差或等比数列的问题 解题思路为 由an与Sn的关系递推出n为n 1时的关系式 两关系式相减后 进行化简 整理 最终化归为用定义法证明 例4已知数列 an 的前n项和为Sn Sn m 1 man对任意的n N 都成立 其中m为常数 且m 1 1 求证 数列 an 是等比数列 2 记数列 an 的公比为q 设q f m 若数列 bn 满足b1 a1 bn f bn 1 n 2 n N 求证 数列是等差数列 3 在 2 的条件下 设cn bn bn 1 数列 cn 的前n项和为Tn 求证 Tn 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练4设数列 an 的前n项和为Sn 且 3 m Sn 2man m 3 n N 其中m为常数 且m 3 1 求证 an 是等比数列 1 证明由 3 m Sn 2man m 3 得 3 m Sn 1 2man 1 m 3 两式相减 得 3 m an 1 2man an 是等比数列 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型三非等差 等比数列的求和问题突破策略一错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求 即和式两边同乘等比数列的公比 然后作差求解 例5已知数列 an 的前n项和Sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 突破策略二裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 利用裂项相消法求和时 要注意抵消后所剩余的项是前后对称的 例6 2017吉林三模 文17 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 公差d 0 且a3 S5 42 a1 a4 a13成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 求数列 bn 的前n项和Tn 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练6 2017河北邯郸二模 文17 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 且3Sn an 1 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设等差数列 bn 的前n项和为Tn a2 b2 T4 1 S3 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 1 3Sn an 1 1 当n 1时 3Sn 1 an 1 得3 Sn Sn 1 3an an 1 an 则an 1 4an 又a2 3a1 1 4 4a1 数列 an 是首项为1 公比为4的等比数列 则an 4n 1 2 由 1 得a2 4 S3 21 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四数列型不等式的证明突破策略放缩法要证明关于一个数列的前n项和的不等式 一般有两种思路 一是先求和再对和式放缩 二是先对数列的通项放缩再求数列的和 必要时对其和再放缩 例7 2017广东佛山一模 文17 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足Sn an n2 1 n N 1 求 an 的通项公式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 1 解 Sn an n2 1 n N a1 a2 a2 22 1 解得a1 3 当n 2时 an Sn Sn 1 an n2 1 an 1 n 1 2 1 整理得an 1 2n 1 可得an 2n 1 当n 1时也成立 an 2n 1 2 证明由 1 可得Sn 2n 1 n2 1 n2 2n 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练7 2017贵州贵阳二模 设Sn是数列 an 的前n项和 an 0 且4Sn an an 2 1 求数列 an 的通项公式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五数列中的存在性问题突破策略存在顺推法求解数列中的存在性问题 先假设所探求对象存在或结论成立 再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理 若由此推出矛盾 则假设不成立 即不存在 若推不出矛盾 则得到存在的结果 例8已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 an 0 anan 1 Sn 1 其中 为常数 1 证明an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 1 证明因为anan 1 Sn 1 所以an 1an 2 Sn 1 1 两式相减 得an 1 an 2 an an 1 因为an 1 0 所以an 2 an 2 解由题设 a1 1 a1a2 S1 1 可得a2 1 由 1 知