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抛物线与面积问题执教：甘棠中学 王建龙一、基础回顾：1、在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，1），B（2，0），C（4，2），求ABC的面积。分析：分别过A、C作x轴的垂线，转化为梯形与三角形的面积的差求解。2、过ABC的的顶点A作BC的平行线MN，在直线MN上任取点P，与有何数量关系？设PC交AB于O，图中还有面积相等的三角形吗？反过来，如果已知=或=，能判断直线MN与直线BC的数量关系吗？分析：分别过P、A作BC的垂线，与共底等高，故面积相等。同时减去，则=；反过来也成立。归纳：求坐标系内图形的面积，通常过其顶点作坐标轴的垂线，转化为直角三角形和直角梯形的面积的和或差来求解；根据平行线间的距离处处相等，可以过某一顶点作某一边的平行线，将其转化为与之同底等高的三角形来求解。二、考点迁移：例1：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在第二象限的抛物线上是否存在点P，使=4？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。分析：解法一：作PMx轴于点M，=+-设P的坐标，列方程求解。解法二：过P作PMAC交x轴于M，则=，由此得M的坐标，进而求出PM的解析式，与抛物线联立求解。例2：如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，P是第二象限抛物线上一点，作PFx轴于点F，交AC于点E，若：=2：3，求点P的坐标。分析：设P的坐标，表示E的坐标，利用两三角形共高，将面积的比转化为底（即PE与EF）的比，进而列方程求解。例3：如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，P是第一象限的抛物线上一点，PC交x轴于点H；（1）若=2，求点P的坐标；（2）若=，求点P的坐标。三、课堂小结：求与三角形面积有关的抛物线上点的坐标，通常有以下两种方法：过该点向坐标轴作垂线，设出该点的坐标，将坐标转化为垂线段的长，运用有关面积的条件列方程求解；将面积的关系转化为线段或坐标的关系，进而先求出过该点的某直线的解析式，再将其与抛物线的解析式联立成方程组求解。四、课后练习：1、如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，点P在第一象限的抛物线上且在其对称轴的右边，=4，求点P的坐标。2、如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，其顶点为K，在其对称轴右侧的抛
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