1.1-1.2 行列式.ppt

1 第一章 一 行列式的概念 三 行列式的计算 四 克莱姆法则 行列式 二 行列式的性质 2 一 二阶行列式 二 三阶行列式 三 n阶行列式 第一节 行列式的概念 第一章 3 一 二阶行列式 首先考察用消元法求解二元一次方程组 从中引出二阶行列式的概念 然后把概念推广 得出高阶行列式的概念 二元线性方程组 由消元法 得 得 同理 得 于是 当 时 方程组有唯一解 4 由方程组的四个系数确定 定义 表达式a11a22 a12a21称为数表 所确定的二阶行列式 其中 数aij i 1 2 j 1 2 称为行列式的元素 i为行标 表明元素位于第i行 为列标 表明元素位于第列 注 二阶行列式表示一个数 5 对角线法则 二阶行列式的计算 主对角线 次对角线 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 6 7 因此 上述二元线性方程组的解可表示为 利用行列式的定义可以计算出行列式的值 例如 8 例1 设 解 可得 问 1 当 为何值时D 0 2 当 为何值时D 0 则 1 当 0或 3时D 0 2 当 0且 3时D 0 9 例2 解方程组 解 因为 所以 这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式 的值 同样用此方法可解三元一次方程组 10 类似地 为讨论三元线性方程组 引进三阶行列式的定义 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三个元素的乘积冠以负号 二 三阶行列式 11 按第一列展开 12 按第一行展开 13 例 利用行列式的定义计算 利用行列式的定义可以计算出行列式的值 三阶行列式表示数 它是由三个二阶行列式来 可见 表示 14 例3 计算 解 15 三元一次方程组 其解法类似于二元一次方程组 若系数行列式 16 例4 解三元一次方程组 解 系数行列式 17 由解的表达式可见 只要系数行列式D不等于零 当方程的个数 未知数的个数 在含有两个或三个未知数的线性方程组中 引入行列式后 方程组的解可以表示 成相同的形式 即都可以表示成两个行列式之商 那么 对于含有n个未知数的此类方程组来说 是有类似的结果 下面首先定义高阶行列式 18 表示由n2个数 按某种规则运算得到的一个数 并称 之为n阶行列式 三 n阶行列式 排成n行n列的表 构成的表达式 1 定义 n阶行列式是一个数 它是由n个n 1阶行列式 表示 19 按第一列展开 20 按第1列展开 对n阶上三角行列式按第一列展开 可以推出 例如 例 作业P81 3 4 2 21 一 行列式的性质 第二节 行列式的性质 第一章 二 利用行列式的性质计算行列式的值 22 转置行列式 一 行列式的性质 设 则称 为D的转置行列式 记为DT 23 即行列式D的值与其转置行列式DT的值相等 此性质可以看出 在行列式中行与列的地位是对称的 因此凡是有关行的性质 对列也是同样成立 性质1 例如下三角行列式转置行列式为上三角形 24 互换两行 列 行列式值变号 推论行列式两行 列 相同 则 因为对换相同的两行 列 的对应因素的位置后 出现D D 性质2 行列式中i行 列 与j行 列 对应元素对调 记为 所以 行 row 列 column 25 性质3 行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以 提到行列式记号的外面 26 两行 列 对应元素成比例 性质4 27 性质5 单行 列 可加性 例如 28 例1 计算下列行列式的值 29 性质6 将行列式的某一行的每个元素乘以同一数 k后加到另一行对应元素上去 行列式的值不变 行列式中j行 列 各元素乘以常数k加到i行 列 对应元素上 记为 30 例2 计算下列行列式的值 注意 区别 31 性质7 32 计算行列式 例3 33 例4 计算行列式 34 1 化上三角形法 利用结论 上下三角形行列式的值 对角线上元素之积 一般行列式化为三角形行列式 注意 此方法极其重要 不仅是计算行列式的一个 重要方法 而且对以后各章的学习也带有普遍意义 二 利用行列式的性质计算行列式 35 形行列式 然后计算行列式的值 用性质6 这种变换 把行列式化为三角 例5 计算下列行列式的值 1 36 形行列式 用性质6 这种变换 把行列式化为三角 1 37 38 2 39 40 41 5 42 6 43 2 降阶法 例6 计算下列行列式的值 44 2 45 例7 n阶 字母构成 不适合化为三角形