高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_2椭圆的几何性质一课件新人教b版选修1_1

第二章 2 1椭圆 2 1 2椭圆的几何性质 一 1 根据椭圆的方程研究曲线的几何性质 并正确地画出它的图形 2 根据几何条件求出曲线方程 并利用曲线的方程研究它的性质 图形 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一椭圆的简单几何性质 思考1 怎样求C1 C2与两坐标轴的交点 交点坐标是什么 答案 对于方程C1 令x 0 得y 4 即椭圆与y轴的交点为 0 4 与 0 4 令y 0 得x 5 即椭圆与x轴的交点为 5 0 与 5 0 同理得C2与y轴的交点为 0 5 与 0 5 与x轴的交点为 4 0 与 4 0 思考2 椭圆具有对称性吗 答案 有 问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形 也是以x轴 y轴为对称轴的轴对称图形 思考3 椭圆方程中x y的取值范围分别是什么 答案 C1 5 x 5 4 y 4 C2 4 x 4 5 y 5 梳理 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c x a y b x b y a x轴 y轴和原点 a 0 0 b 0 a b 0 2a 2b 知识点二椭圆的离心率 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样 哪些量影响其扁平程度 怎样刻画 答案 离心率 0 1 扁 0 题型探究 类型一椭圆的几何性质 例1求椭圆9x2 16y2 144的长轴长 短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 解答 椭圆的长轴长和短轴长分别是2a 8和2b 6 四个顶点坐标分别是A1 4 0 A2 4 0 B1 0 3 和B2 0 3 引申探究已知椭圆方程为4x2 9y2 36 求椭圆的长轴长 短轴长 焦点坐标 顶点坐标和离心率 解答 可知此椭圆的焦点在x轴上 且长半轴长a 3 短半轴长b 2 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上 再利用a b c之间的关系和定义 求椭圆的基本量 反思与感悟 解答 焦点坐标为F1 1 0 F2 1 0 类型二求椭圆的离心率 答案 解析 方法一如图 DF1F2为正三角形 N为DF2的中点 F1N F2N NF2 c 则由椭圆的定义可知 NF1 NF2 2a 方法二注意到焦点三角形NF1F2中 NF1F2 30 NF2F1 60 F1NF2 90 则由离心率的三角形式 可得 反思与感悟 答案 解析 如图所示 BAF2 60 AB AF2 ABF2是等边三角形 ABF2的周长 3 AF2 4a 答案 解析 答案 解析 由题意知 以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点 则c b 即c2 b2 所以c2 a2 c2 反思与感悟 若a c的值不可求 则可根据条件建立a b c的关系式 借助于a2 b2 c2 转化为关于a c的齐次方程或不等式 再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂 得到关于e的方程或不等式 即可求得e的值或取值范围 答案 解析 设椭圆的右焦点为F 由题意得A a 0 B 0 b F c 0 BAO BFO 90 且 BFO BF O BAO BF O 90 a b c b ac b2 ac a2 c2 0 类型三利用几何性质求椭圆的标准方程 解析 所求椭圆的方程为标准方程 又椭圆过点 3 0 点 3 0 为椭圆的一个顶点 当椭圆的焦点在x轴上时 3 0 为右顶点 则a 3 当椭圆的焦点在y轴上时 3 0 为右顶点 则b 3 解析 由椭圆的对称性 知 B1F B2F 又B1F B2F B1FB2为等腰直角三角形 OB2 OF 即b c 反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a b c所应满足的关系式 进而求出a b 在求解时 需注意当焦点所在位置不确定时 应分类讨论 跟踪训练4根据下列条件 求中心在原点 对称轴在坐标轴上的椭圆方程 1 长轴长是短轴长的2倍 且过点 2 6 解析 2 焦点在x轴上 一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直 且半焦距为6 解析 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 5 5 答案 1 2 3 4 5 4 若椭圆的对称轴为坐标轴 且长轴长为10 有一个焦点坐标是 3 0 则此椭圆的标准方程为 答案 解析 5 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标为 1 2 3 4 5 答案 解析 规律与方法 1 已知椭圆的方程讨论性质时 若不是标准形式 应先化成标准形式 2 根据椭圆的几何性质 可以求椭圆的标准方程 其基本思路是 先定型 再定量