高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_3 最大值与最小值课件 苏教版选修2-2

1 3 3最大值与最小值 第1章1 3导数在研究函数中的应用 学习目标1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点函数的最大 小 值与导数 观察 a b 上函数y f x 的图象 试找出它的极大值 极小值 答案 答案极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 如图为y f x x a b 的图象 思考2 结合图象判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分别为多少 答案 答案存在 f x min f a f x max f x3 思考3 函数y f x 在 a b 上的最大 小 值一定是某极值吗 答案 答案不一定 也可能是区间端点的函数值 1 最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0 使得对任意的x I 总有 那么f x0 为函数在定义域上的最大值 最大值是相对函数定义域整体而言的 如果存在最大值 那么最大值 如果在函数定义域I内存在x0 使得对任意的x I 总有 则称f x0 为函数在定义域上的最小值 最小值是相对函数定义域整体而言的 如果存在最小值 那么最小值 梳理 f x f x0 惟一 f x f x0 惟一 2 求f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 求f x 在区间 a b 上的 将第 步中求得的与 比较 得到f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 极值 极值 f a f b 题型探究 命题角度1不含参数的函数求最值例1已知函数f x x3 3x x R 1 求f x 的单调区间 解答 类型一求函数的最值 解f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 所以f x 的单调增区间为 1 和 1 单调减区间为 1 1 解答 求解函数在固定区间上的最值 需注意 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值的大小 确定最值 反思与感悟 解析f x 2x sinx 令f x 0 即2x sinx 0 得x 0 答案 解析 2 已知函数f x x3 ax2 3x 若x 3是f x 的极值点 求f x 在x 1 a 时的最值 解f x 3x2 2ax 3 由题意知 f 3 0 即27 6a 3 0 解得a 5 f x 3x2 10 x 3 令f x 0 即3x2 10 x 3 0 f 3 9 f 1 1 f 5 15 当x 1 5 时 f x 的最小值为 9 最大值为15 解答 命题角度2含参数的函数求最值例2已知a为常数 求函数f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 解答 解f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 则f x 0 函数f x 单调递减 所以当x 0时 f x 有最大值f 0 0 列表如下 当x 1时 f x 有最大值f 1 3a 1 综上 当a 0 x 0时 f x 有最大值0 当a 1 x 1时 f x 有最大值3a 1 对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值 再与端点值比较后确定最值 反思与感悟 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 6x 8 求a b的值 解答 解f x 3ax2 3x 由f 2 6 得a 1 由切线方程为y 6x 8 得f 2 4 又f 2 8a 6 b b 2 所以b 2 所以a 1 b 2 2 若a 0 b 2 当x 1 1 时 求f x 的最小值 解答 解f x 3ax2 3x 3x ax 1 分以下两种情况讨论 例3已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 类型二由函数的最值求参数 解答 解由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0 且当x变化时 列表如下 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也就是函数在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 反思与感悟 跟踪训练3 1 若函数f x 3x x3在区间 a2 12 a 上有最小值 则实数a的取值范围是 答案 解析 解析由f x 3 3x2 0 得x 1 列表如下 又当x 1 时 f x 单调递减 且当x 2时 f x 2 a 2 综上 1 a 2 2 已知函数f x x ln x a 的最小值为0 其中a 0 求a的值 解f x 的定义域为 a 解答 令f x 0 解得x 1 a a 当 a1 a时 f x 0 f x 在 1 a 上单调递增 因此 f x 在x 1 a处取得最小值 由题意知 f 1 a 1 a 0 故a 1 例4已知2xlnx x2 ax 3对一切x 0 恒成立 求a的取值范围 解答 类型三与最值有关的恒成立问题 当x 0 1 时 h x 0 h x 单调递增 h x min h 1 4 a h x min 4 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 反思与感悟 跟踪训练4设f x lnx g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 解答 解由题设知f x 的定义域为 0 令g x 0 得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调增区间 因此 x 1是g x 在 0 上的惟一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 解答 即lna0成立 由 1 知 g x 的最小值为1 所以lna 1 解得0 a e 当堂训练 1 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 答案 2 3 4 5 1 解析f x 3x2 3 令f x 0 即3x2 3 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以f x 在x 1处取得极大值f 1 3 在x 1处取得极小值f 1 1 而端点处的函数值f 3 17 f 0 1 比较可得f x 的最大值为3 最小值为 17 解析 3 17 2 函数f x x2 ex 1 x 2 1 的最大值为 答案 2 3 4 5 1 解析 解析f x xex 1 x 2 令f x 0 得x 2或x 0 当f x 0时 x0 当f x 0时 2 x 0 当x 2时 f 2 当x 0时 f 0 0 当x 1时 f 1 e2 所以函数的最大值为e2 e2 3 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为M m 则M m的值为 2 3 4 5 1 答案 解析 32 解析因为函数f x x3 12x 8 所以f x 3x2 12 令f x 0 解得x 2或x 2 令f x 0 解得 2 x 2 故函数在 2 2 上是减函数 在 3 2 2 3 上是增函数 所以函数在x 2时取到最小值f 2 8 24 8 8 在x 2时取到最大值f 2 8 24 8 24 即M 24 m 8 所以M m 32 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 5 已知函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 求a的值 并求f x 在 2 2 上的最大值 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 解f x 6x2 12x 6x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 列表如下 所以当x 2时 f x min 40 a 37 所以a 3 所以当x 0时 f x 取到最大值3 规律与方法 1 求解函数在固定区间上的最值 在熟练掌握求解步骤的基础上 还需注意 1 对函数进行准确求导 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3