高考理科数学双曲线复习资料.ppt

1 第八章圆锥曲线方程 双曲线 第讲 2 第一课时 2 3 1 平面内与两个定点F1 F2的 的 为正常数 小于 的点的轨迹叫做双曲线 这两个点叫做双曲线的 2 双曲线也可看成是平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l 点F在直线l外 的距离 的点的轨迹 其中这个常数就是双曲线的 其取值范围是 这个定点F是双曲线的一个 这条定直线是双曲线的一条 距离之差 绝对值 F1F2 焦点 之比为常数 离心率 1 焦点 准线 4 3 设双曲线的实半轴长为a 虚半轴长为b 半焦距为c 则a b c三者的关系是 焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 4 对于双曲线 a 0 b 0 c2 a2 b2 5 1 x的取值范围是 y的取值范围是 2 双曲线既关于 成轴对称图形 又关于 成中心对称图形 3 双曲线的两个顶点坐标是 两个焦点坐标是 两条准线方程是 两条渐近线方程是 4 双曲线的离心率e 一个焦点到相应准线的距离 焦准距 是 a a R x轴 y轴 原点 a 0 c 0 6 5 设P0 x0 y0 为双曲线上一点 F1 F2分别为双曲线的左 右焦点 则 PF1 PF2 5 与双曲线 a 0 b 0 有共同渐近线的双曲线系方程是 6 实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做 其离心率e 两渐近线方程为 a ex0 a ex0 等轴双曲线 y x 7 1 过点 2 2 且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是 解 可设所求双曲线方程为 把点 2 2 的坐标代入方程得 2 故选A A 8 2 如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8 那么P到它的右准线的距离是 解 利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为故选D D 9 3 已知F是双曲线的左焦点 A 1 4 P是双曲线右支上的动点 则 PF PA 的最小值为 解 注意到点A在双曲线的两支之间 且双曲线右焦点为F 4 0 于是由双曲线性质 PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当A P F 三点共线时等号成立 9 10 题型1求双曲线的标准问题 11 12 13 14 15 16 17 18 2010 全国课程标准卷 已知双曲线E的中心为原点 F 3 0 是E的焦点 过F的直线l与E相交于A B两点 且AB的中点为N 12 15 则E的方程为 19 20 21 2 已知双曲线的左 右焦点分别为F1 F2 左准线为l 在双曲线的左支上存在点P 使得 PF1 是点P到l的距离d与 PF2 的等比中项 求双曲线离心率的取值范围 解 因为在左支上存在P点 使 PF1 2 PF2 d 由双曲线的第二定义知 即 PF2 e PF1 再由双曲线的第一定义 得 PF2 PF1 2a 题型2求双曲线离心率的值或取值范围 22 由 解得因为在 PF1F2中有 PF1 PF2 2c 所以 利用e 则式 为e2 2e 1 0 解得1 e 1 因为e 1 所以1 e 1 故e 1 1 点评 求离心率的取值范围 一是先把条件转化为关于a c的式子 然后化为的式子 二是结合一些隐含性质 如本题中的三角形两边之和大于第三边 双曲线的离心率的范围等 23 已知F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 P为双曲线左支上任意一点 若的最小值为8a 则双曲线的离心率的取值范围为 A 1 3 B 0 3 C 1 2 D 1 解 由双曲线的定义知 此时 PF1 2a PF2 4a A 24 如图 PF1 PF2 F1F2 成立 即2a 4a 2c 即6a 2c 则e 又双曲线的离心率e 1 综合得双曲线离心率的取值范围为 1 3 故选A 25 1 在求双曲线方程和研究双曲线的性质时 要深刻理解确定双曲线的形状 大小的几个主要特征量 如a b c e的几何意义及它们之间的相互关系 2 类比双曲线与椭圆的性质时 要突出双曲线的渐近线 特别是由渐近线方程求双曲线方程时 不能直接写出双曲线方程 如渐近线方程是要把双曲线方程写成 再根据已知条件确定 的值 求出双曲线方程 26 3 双曲线的渐近线方程可认为是把标准方程中的 1 用 0 代替得出的直线方程 不同的双曲线可以有相同的渐近线 两渐近线的交点即为双曲线中心 平行于渐近线的直线与双曲线有且只有一个交点 4 双曲线的离心率反映了双曲线的开口程度 因为c a 0 所以 1 e越大 双曲线开口越大 27 第八章圆锥曲线方程 双曲线 第讲 2 第二课时 28 1 过双曲线x2 y2 4的右焦点F作倾斜角为105 的直线 交双曲线于P Q两点 求 FP FQ 的值 题型3双曲线背景下的求值问题 29 解 如右图所示 分别过点P Q作PM QN垂直于双曲线x2 y2 4的右准线l x 垂足分别为M N 则由双曲线的第二定义可得即得又因为即 30 所以同理可得所以 31 点评 双曲线上一点与焦点的连线段称为一条焦半径 焦半径 点准距 点到相应准线的距离 离心率三者之间的关系式是我们解决有关双曲线距离的重要关系式 32 2010 北京卷 已知双曲线 1的离心率为2 焦点与椭圆 1的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 33 解 由题意得 椭圆 1的焦点的横坐标为 4 由e 2 得a 2 所以b 2 故双曲线的焦点坐标为 4 0 渐近线方程为y x 即x y 0 34 2 已知双曲线C的方程为离心率e 顶点到渐近线的距离为 1 求双曲线C的方程 2 P是双曲线C上一点 A B两点在双曲线C的两条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 2 求 AOB面积的取值范围 解法1 1 由题意知 双曲线C的顶点 0 a 到渐近线ax by 0的距离为 题型4在双曲线背景下求参变量的取值范围 35 所以即由得所以双曲线C的方程为 2 由 1 知双曲线C的两条渐近线方程为y 2x 设A m 2m B n 2n m 0 n 0 由得P点的坐标为 36 将P点的坐标代入化简得设 AOB 2 因为tan 2 所以又 OA 5m OB 5n 所以记由S 0 得 1 又当 1时 AOB的面积取得最小值2 37 当 时 AOB的面积取得最大值 所以 AOB面积的取值范围是 2 解法2 1 同解法1 2 设直线AB的方程为y kx m 由题意知 k 0 由得A点的坐标为由得B点的坐标为 38 由得P点的坐标为将P点坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点 则Q点的坐标为 0 m 以下同解法1 39 点评 求参数或式子的取值范围问题 其策略是先根据条件选设主参数 然后利用已知条件和相关性质 如双曲线上的点的横坐标 离心率的范围 求解相应的不等式或函数式 即可解决所求问题 40 41 42 已知点F1 F2分别为双曲线的左 右焦点 点P为双曲线右支上任意一点 试推断对任意给定的点P 在x轴上是否存在两个不同的点M 使 PM 2 PF1 PF2 成立 解 设点P x0 y0 x0 4 M m 0 则 题型双曲线有关性质的探究与证明 43 且所以由得即m2 2mx0 7 0 因为 4x02 28 4 16 28 36 0 所以方程 恒有两个不等实根 故对任意一个确定的点P 在x轴上总存在两个不同的点M 使 PM 2 PF1 PF2 成立 44 1 由c2 a2 b2及a b的几何意义可知 双曲线