动力学例题(供参考).ppt

1 当小车沿光滑水平面以加速度a1作匀加速直线运动时 2 当小车以加速度a2沿光滑斜面 斜面与水平面成 角 向上作匀加速直线运动时 例题1 一个质量为m 悬线长度为l的单摆 挂在架子上 架子固定在小车上 如图所示 求在下列情况下悬线的方向 用摆的悬线与竖直方向所成的角 表示 和线中的张力 牛顿运动定律举例 解 1 小车水平加速运动时 摆锤的受力如图 在如图坐标系中有 解得 mg 小车沿斜面向上时摆锤的受力如图 在如图坐标系中有 解得 利用一个系统中的单摆悬线的取向 可测定这个系统直线运动时的加速度 若 0 a2 a1 即为情况 1 若a2 gsin 即为小车沿斜面自由下滑的情况 此时 可见此时悬线方向与斜面垂直 例题2 如图所示 在水平转台上放置一质量为M 2kg的小物块A 物块与转台间的静摩擦系数 0 2 一条光滑的绳子一端系在物块A上 另一端则由转台中心处的小孔穿下并悬一质量为m 0 8kg的物块B 转台以 4 rad s的角速度绕竖直中心轴转动 求 转台上面的物块A与转台相对静止时 物块转动半径的最大值和最小值 分析 以地面为参照 M作圆周运动 摩擦力和张力提供向心运动的向心力 若以转台为参照 则M相对静止 此时作用在其上的力还要考虑惯性离心力 解 质量为M的物块作圆周运动的向心力 由它与平台间的摩擦力f和质量为m的物块对它的拉力F的合力提供 当M物块有离心趋势时 f和F同向 而当M物块有向心运动趋势时 两者的方向相反 因M物块相对于转台静止 故有 m物块是静止的 因而 又 故 例题3 在半径为R的光滑球面的顶点处 一质点开始滑落 取初速度接近于零 试问质点滑到顶点以下多远的一点时 质点离开球面 分析 小球沿球面下滑 作变加速圆周运动 离开球面时 受光滑球面对它的支持力为零 解 以小球为研究对象 取自然坐标 作受力分析见图 某时刻 设小球沿球面运动的速率为v 由牛顿运动方程 顶点至脱离球面处的垂直距离 脱离球面时 由 2 式 得 将 代入 1 式 得 两边积分 得 将 4 式代入 5 式 得 由 3 式得顶点至脱离球面处的垂直距离 本题用机械能守恒定律求解更简单 例题4 由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船 求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度 不计空气阻力及其它作用力 设地球半径为6378000m 解 设地球半径为R 地球表面的重力近似等于引力 宇宙飞船受的引力 运动方程 两边积分 飞船脱离地球引力时 令v 0 例题5 一根缆绳绕在固定的圆柱形木桩上 绳与木桩之间的静摩擦系数为 绳的一端用的力拉着 另一端用的力拉着而处于平衡 设缆绳所绕部分对应的圆心角为 问拉力的最大值是多少时才能使绕在木桩上的绳产生滑动 当 绳在木桩上绕两圈 问的最大值是多少牛顿 解 在绕于木桩的绳上取长度为dl的一段微元 考察其受力 两端的张力T和T dT 木桩的法向作用力N和绳与木桩之间的切向静摩擦力f 方向如图所示 在这四个力作用下 该段绳处于平衡 其平衡方程的法向分量式为 切向分量式为 由于d 很小 可取sin d 2 d 2 cos d 2 1 再略去高价无穷小量 上述两式变为 又因为是静摩擦 所以 于是 由上两式消去N后得到 两边积分 得到 可见拉力T1的最大值为 代入数据可求得 如果绕上三圈 可得T1的最大值约为1 24 105牛顿 即可以拉住大一万倍以上的力 例题6 教材P72题2 5 图中A为定滑轮 B为动滑轮 三个物体m1 200g m2 100g m3 50g 求 1 每个物体的加速度 2 两根绳子中的张力T1与T2 假定滑轮及绳的质量以及摩擦均可忽略不计 分析 牛顿定律仅适用于惯性参照系 本题中 若以a1 a2 a3分别表示m1 m2 m3相对地面 惯性系 运动的加速度 应注意m2 m3相对滑轮B的加速度不是对地加速度 要运用相对运动的加速度关系 若取滑轮B为参照系时 则应注意添加相应的惯性力 解1 以m1 m2 m3为研究对象 选 地面 参照系 取坐标Oy向下为正 作受力分析如解图所示 设m1 m2向下 m3向上运动 并分别以a1 a2 a3表示m1 m2 m3对地的加速度 以a 2表示m2 m3相对滑轮B的加速度 注意到 可得 解2 对m1仍取地面为参照系 对m2 m3取滑轮B为参照系 非惯性系 则需添加惯性力 使牛顿第二定律形式上成立 取坐标以及对三个物体运动状态的假设同解1 受力分析如解图 设m1对地的加速度a1 m2 m3相对滑轮B的加速度大小为 m2受惯性力大小为 m3受惯性力大小为 对m1 对m2 对m3 轻绳 且不计摩擦 1 2 4 改写 2 3 式 得 2 3 方程 1 2 3 4 与解1的方程完全相同 对m3 例题7 教材P76 2 22 直九型直升机的每片旋翼长5 97m 若按宽度一定 厚度均匀的薄片计算 旋翼以400r min旋转时 其根部受的拉力为其所受重力的几倍 解 旋翼上离转轴r处的一质元的质量为