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1 2 Kronecker符号 一 Kronecker符号定义为 其中i j为自由指标 取遍1 2 3 因此 可确定一单位矩阵 2 二 3 若 是相互垂直的单位矢量 则 例题1 三 例题 4 注意 是一个数值 即 例题2 思路 把要被替换的指标i变成哑标 哑标能用任意字母 因此可用变换后的字母k表示 的作用 1 换指标 2 选择求和 5 例题3 特别地 6 四 符号的应用 7 3 置换符号 PermutatisnSymbol 8 i j k 为1 2 3的偶置换 123 231 312 i j k 为1 2 3的奇置换 213 132 321 i j k 的任意两个指标相同 9 易知 二 符号的应用 1 三阶行列式 10 若 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量 2 右手卡氏直角坐标系的单位基矢量叉乘 3 11 例题 证明 12 三 常见的恒等式 1 证明 13 证明 2 14 3 4 由 15 4 纳布拉算子 16 1 3张量的代数运算 数乘加法点积缩并叉积 点叉积张量积转置求逆对称与反对称 17 1 张量的记法 绝对记法 一个字母 T A 分量记法 矩阵表示 18 因此 为二阶张量 例 由第一节 2 张量的特征定义 应力张量 19 3 数乘 设T为一个张量 如二阶张量 为一标量 它们的乘积记为 仍为张量 则 20 根据张量的坐标变换特征 有 可见 为二阶张量 以二阶张量为例 21 4 加法 设T S均为两个同阶张量 如二阶张量 将它们的和用下式表示 22 若a为一矢量 则 T S和的分量为 其矩阵形式为 23 5 点积 1 矢量a b的点积 换指标 24 2 张量T S 设为二阶 的点积 一般地 任意个二阶张量依次点积 结果仍为二阶张量 即 25 3 双重点积 前后 若A为二阶张量 B为三阶张量 则 结果为一阶张量 26 4 双重点积 内外 若A为二阶张量 B为三阶张量 则 结果为一阶张量 商法则 若一个量与任意一个量的点乘积为张量 则该量必为张量 27 6 叉积 1 两个矢量a b的叉积 28 2 两个任意张量的叉积 29 7 张量积 并乘 设分别为m和n阶张量 它们的并积为 则 可见 其结果张量是m n阶的 30 注意 有时候会把点乘写成 这时并乘要加并乘符号 称为基张量 31 8 缩并 如对积张量中任意两个基矢量进行点乘 便可得到比原来低二阶的张量 称为张量的缩并 匡震邦书 盖秉政书例题 32 9 转置 10 求逆 33 9 对称与反对称 A 对称张量 若
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