关于上下极限的一些问题.doc

关于上下极限的一些问题利用上下极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。 正确理解这个概念的精细之处并不容易。深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。因此同学们可根据自己的情况对这部分内容做出适当的安排。通常有两种方式定义上下极限。课本里给出的定义（第一章总复习题题15，第24页）称为上下极限的确界定义。 此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的最大和最小的聚点。我们称这种定义为聚点定义。（序列的任意一个收敛子列的极限称作为序列的一个聚点，也称序列的极限点。）我们在课堂里已经证明了这两种定义的等价性。上下极限的聚点定义似乎更容易直观理解和把握。而确界定义则更具有实际操作意义。以下我们列出一些关于上下极限的性质。它们的证明有些比较容易，如(i)的证明。根据上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。有些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出来。如(ii)的证明。所有证明在这里均从略。在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相关的证明。 设序列，均有界，则下列结论成立。(i) 若， ，则，。（保序性）(ii) 。(iii) ，。(iv) 若，则(v) 若极限存在，则，(vi) 若，则， (vii) 若，且极限存在，则， 。以下四道题均涉及到序列极限的存在性。 我们将利用上下极限的技术来证明极限的存在性，以显示上下极限技术很给力。题1. 设数列满足， 。证明极限存在。（这道题与第一章总复习题题14第24页类似。）注: 如果哪位同学能够证明所述极限的存在性，但不使用上下极限技术，请一定和老师取得联系。这说明你真的很厉害。 证明：根据关系式 ，我们容易得到。 这表明， 即序列有界。因此其上下极限满足。任意固定正整数。 则每个正整数均可表为，其中。仍根据，我们得 。 因此。现在我们取上极限（关于指标取） 得。注意正整数固定， 数虽然随着在变化，但。于是 ，并且。这就得到对于任意固定的正整数， 我们得到。 对这个不等式左边关于取下极限得。这表明。因此极限存在。证毕。题2：设数列由递推关系式，确定。讨论数列的收敛性。（这是课本的习题1.4题14， 第19页）。解：不难确定，。利用性质(vi), 对关系式两边分别取上极限和下极限， 我们可以得到 ，。 记， 则有，。由此得到和。从而有。 此即序列的上下极限相等。因此它的极限存在。进一步可确定其极限值为二次方程的正根。解答完毕。注：当然可以用其他方法证明序列极限的存在性。不难证明有上界，有下界。因此它们均有极限。 不难确定它们的极限值相等。 细节略。题3：利用上下极限技术，证明Stolz定理（型）：考虑极限。假设严格，且极限存在，记作（这里允许和），则极限。证明：以下只证明为有限的情形。其它情形的证明类似。根据假设知，对于，使得， 。于是，。根据分数不等式（见第一次习题课讨论题）可知，。将上式写作，。（*）由假设知，。 于不等式（*）分别取上极限和下极限得 ，。由于上下极限均为确定的常数，且正数可以任意小，因此必有。这就证明了定理的结论。证毕。题4：设两个序列，由关系式 相联系。证明，若序列收敛，则序列也收敛。证明：我们将证明序列的上下极限相等。为此，我们先证明序列有界。由假设序列收敛知，序列有界。将关系式 写作。这样不难由归纳法证明序列有界。记，。将关系式 写作