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高一数学辅导 平面向量的数量积（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作，。称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。（2）平面向量的数量积： ，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。例（1）ABC中，则_。（2）已知，与的夹角为，则等于_。（3）已知，则等于_。（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_。（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。例已知，且，则向量在向量上的投影为_。（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。例（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（2）已知与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小。6、向量的运算：实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。例设，且，则C、D的坐标分别是_。平面向量数量积：。例已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值。向量的模：。例已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_。两点间的距离：若，则。例如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，2），求P到O的距离PO；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。7、向量的运算律：。例下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_。提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8、向量平行(共线) 0。例(1)若向量，当_时与共线且方向相同。（2）已知，且，则x_。（3）设，则k_时，A,B,C共线。9、向量垂直 .例(1)已知，若，则 。（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ 。（3）已知向量，且，则的坐标是_ 。练一练1、已知O为原点，点A、B的坐标分别为，其中常数，点P在线段AB上，且有，则的最大值为 不共线的向量和的夹角平分线上的单位向量是： 3、已知向量同向.则下列等式中一定成立的是 （ ） 4、已知点.设的平分线与相交于，且。则等于 5、已知向量且.则一定共线的三点是( ) 6、已知向量若则的夹角为（ ） 7、已知向量.若不超过5，则的取值范围是 8 、已知向量，.若函数在区间上是增函数，求的范围。9、已知向量.(1) 、向量是否共线?请说明理由;（2）、求函数的最大值.11若向量=（2，x）与=（x, 8）共线且方向相反，则x= .12已知为一单位向量，与之间的夹角是120O,而在方向上的投影为2，则 .15、(1）已知,是两个非零向量，