高中数学全程复习方略2.3.1 抛物线及其标准方程(共56张PPT).ppt

2 3 1抛物线及其标准方程 1 经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程 掌握抛物线的定义 几何图形和标准方程 2 会求简单的抛物线方程 1 本课重点是掌握抛物线标准方程 能根据抛物线方程求出焦点及准线方程 并会求简单的抛物线方程 2 本课难点是用待定系数法和定义法求抛物线标准方程 1 抛物线的定义 1 平面内与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离 的点的轨迹叫做抛物线 2 点F叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 相等 焦点 准线 3 图形展示 即 1 2 四种抛物线标准方程 1 要确定抛物线的解析式需要确定的量是什么 提示 确定抛物线的解析式关键是确定抛物线标准方程中的p 2 标准方程中p的几何意义是什么 若不强调p 0 则y2 2px是否还表示抛物线 提示 p的几何意义是焦点到准线的距离 若不强调p 0 则当p 0时 其表示x轴 p0时 表示焦点在x轴正半轴的抛物线 3 以为焦点的抛物线的标准方程是 解析 根据焦点在x轴上 抛物线标准方程可设为y2 2px p 0 其中焦点坐标是则解得p 3 所以抛物线的标准方程是y2 6x 答案 y2 6x 1 四方面认识抛物线定义及标准方程 1 定义条件 点F不在定直线l上 否则动点M的轨迹就不是抛物线 而是过点F且垂直于l的一条直线 2 一动三定 一动是一个动点 设为M 即为抛物线上的点 三定分别是 一个定点 抛物线的焦点 一条定直线l 抛物线的准线 一个定值 点M到定点F与到定直线l的距离的比是定值1 3 方程特点 抛物线的标准方程是关于x y的二元二次方程 其中一个变量只有一次项 另一个变量只有二次项 4 参数p 在抛物线的方程中只有一个参数p 它的几何意义是焦点到准线的距离 因此p 0 p越大 抛物线开口越开阔 反之越扁狭 2 抛物线解析式与其焦点位置及开口方向的关系先把解析式化成抛物线的标准方程形式 再根据一次项的系数判断 1 如果一次项含有x 则说明抛物线的焦点在x轴上 系数为正 则焦点在正半轴上 开口向右 系数为负 则焦点在负半轴上 开口向左 2 如果一次项含有y 则说明抛物线的焦点在y轴上 系数为正 则焦点在正半轴上 开口向上 系数为负 则焦点在负半轴上 开口向下 3 四种位置的抛物线标准方程的对比 1 相同点 顶点都是原点 准线与抛物线对称轴垂直 垂足与焦点关于原点对称 焦点到准线的距离都等于p p 0 焦点都在抛物线对称轴上 2 不同点 抛物线方程不同 抛物线开口方向不同 求抛物线的焦点及准线 技法点拨 求抛物线的焦点及准线步骤 1 把解析式化为抛物线标准方程形式 2 明确抛物线开口方向 3 求出抛物线标准方程中p的值 4 写出抛物线的焦点坐标或准线方程 典例训练 1 抛物线2y2 3x 0的焦点坐标是 准线方程是 2 设抛物线的方程为y ax2 a 0 求抛物线的焦点坐标与准线方程 解析 1 抛物线2y2 3x 0化为标准形式 则解得焦点坐标是准线方程是答案 2 抛物线方程y ax2 a 0 化为标准形式 当a 0时 则解得 焦点坐标是准线方程是当a 0时 则 焦点坐标是准线方程是综上 焦点坐标是准线方程是 思考 解答题1 题2的关键点及解答题2的注意问题分别是什么 提示 1 解答题1 题2的关键是化抛物线方程为标准方程 2 解答题2的注意点是a的符号不确定要分类讨论 变式训练 求抛物线y mx2 m 0 的焦点坐标和准线方程 解析 抛物线y mx2变形为焦点坐标为准线方程是 求抛物线的标准方程 技法点拨 求抛物线的标准方程的关键与方法 1 关键 确定焦点在哪条坐标轴上 进而求方程的有关参数 2 方法 直接法 建立恰当坐标系 利用抛物线的定义列出动点满足的条件 列出对应方程 化简方程 直接根据定义求p 最后写标准方程 利用待定系数法设标准方程 找有关的方程组求系数 典例训练 1 抛物线的准线方程是则抛物线的标准方程是 2 过点P 2 3 的抛物线的标准方程是 解析 1 抛物线的准线方程是 抛物线的焦点在x轴负半轴 即可设抛物线方程是y2 2px p 0 代入抛物线标准方程y2 2px p 0 中 得抛物线标准方程是y2 3x 答案 y2 3x 2 解题流程 互动探究 如果把题2中的点P 2 3 改为P 2 3 你能不求抛物线标准方程就判断其开口方向吗 解析 由于点P 2 3 在第三象限 过第三象限的抛物线开口向下或向左 思考 解答题1的关键是什么 解答题2应注意什么问题 提示 1 解答题1的关键是判断焦点位置 正确设出抛物线标准方程 2 由于P 2 3 在第四象限 抛物线经过第四象限的有开口向右或开口向下 所以解答题2要分开口向右或向下两种情况分类讨论 变式训练 求出过点 2 3 的抛物线的标准方程 解析 点 2 3 在第三象限 抛物线的标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p0y p0 0 根据题意得 3 2 2p 2 或 2 2 2p0 3 解得 所求抛物线的方程为 抛物线的实际应用 技法点拨 抛物线实际应用题的五个步骤 1 建 建立适当的坐标系 2 设 设出合适的抛物线标准方程 3 算 通过计算求出抛物线标准方程 4 求 求出所要求出的量 5 还 还原到实际问题中 从而解决实际问题 典例训练 1 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分 灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直 灯泡位于抛物线焦点处 已知灯口的直径是24cm 灯深10cm 那么灯泡与反射镜顶点 即截得抛物线顶点 间的距离是 2 如图所示 一隧道内设双行线公路 其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成 为保证安全 要求行驶车辆顶部 设为平顶 与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0 5米 1 以抛物线的顶点为原点O 其对称轴所在的直线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 求该抛物线的方程 2 若行车道总宽度AB为7米 请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米 精确到0 1米 解析 1 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点 建立直角坐标系xOy 如图所示 因灯口直径 AB 24 灯深 OP 10 所以点A的坐标是 10 12 设抛物线的方程为y2 2px p 0 由点A 10 12 在抛物线上 得122 2p 10 所以p 7 2 所以抛物线的焦点F的坐标为 3 6 0 因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3 6cm 答案 3 6cm 3 5米 3 5米 2 如图所示 y x O D C A B 2米 10米 7米 1 依题意 设该抛物线的方程为x2 2py p 0 因为点C 5 5 在抛物线上 所以该抛物线的方程为x2 5y 2 设车辆高h 则 DB h 0 5 故D 3 5 h 6 5 代入方程x2 5y 解得h 4 05 所以车辆通过隧道的限制高度为4 0米 想一想 解答关于抛物线实际应用问题的关键是什么 哪些问题常用抛物线方程求解 提示 关键是建立符合题意的数学模型 如涉及桥的跨度 隧道的高低问题 喷水池的水龙头的喷水问题等通常用抛物线方程解决 变式训练 河上有抛物线型拱桥 当水面距拱顶5米时 水面宽为8米 一小船宽4米 高2米 载货后船露出水面上的部分高米 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时 小船开始不能通航 解析 如图 建立坐标系 设拱桥抛物线方程为x2 2py p 0 由题意 将B 4 5 代入方程得 抛物线方程为 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航 设此时船面宽为AA 则A 2 yA 由 又知船露出水面上部分为米 设水面与抛物线拱顶相距为h 则 米 即水面上涨到距抛物线拱顶2米时 小船不能通航 规范解答 抛物线的定义在解题中的应用 典例 12分 动点M x y 到y轴的距离比它到定点 2 0 的距离小2 求动点M x y 的轨迹方程 解题指导 规范解答 方法一 1 当x 0 时 动点M x y 到y轴的距离比它到定点 2 0 的距离小2 动点M到定点 2 0 的距离与到定直线x 2的距离相等 2分 动点M的轨迹是以 2 0 为焦点 x 2为准线的抛物线 且p 4 4分 抛物线的方程为y2 8x x 0 6分 2 当x 0 时 由于x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到 2 0 的距离小2 动点M的轨迹方程为y 0 x 0 10分综上 动点M的轨迹方程为y 0 x 0 和y2 8x x 0 12分 方法二 设M x y 则有 4分即x2 4 x 4 x2 4x 4 y2 6分化简得 10分 动点M的轨迹方程为y 0 x 0 和y2 8x x 0 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 抛物线上的点到焦点F x 0 的距离为6 求抛物线标准方程 解题设问 根据条件列出的关系式是什么 规范答题 由已知条件得关系式 2分整理得x2 10 x 9 0 4分即 x 1 x 9 0 解得x 1或x 9 6分 F 1 0 p 2 y2 4x或F 9 0 p 18 y2 36x 8分显然 若抛物线为y2 36x 则它的准线方程是x 9 由抛物线定义 点A到 9 0 的距离是6 而点A到x 9的实际距离是14 矛盾 y2 36x 舍 10分 所求抛物线的标准方程为y2 4x 12分 1 顶点在原点 焦点是F 0 3 的抛物线标准方程是 A y2 21x B x2 12y C D 解析 选B 由得p 6 且焦点在y轴正半轴上 故x2 12y 2 抛物线y x2的焦点坐标为 A B C D 解析 选B x2 y 2p 1 焦点坐标为 3 焦点在x轴上 且焦点到准线距离为2的抛物线的标准方程是 A y2 4x B y2 4x C y2 2x D y2 4x 解析 选D 由抛物线标准方程中p的几何意义知p 2 焦点在x轴的抛物线开口向左 y2 4x 开口向右 y2 4x 故选D 4 抛物线图象过点M 2 2 则抛物线标准方程是 解析 由于点M 2