总结求逆矩阵方法.docx

3、逆矩阵的求法1.1一般矩阵的逆矩阵的求法3.1.1用定义去求逆矩阵 定义3.1.1 设是一个阶矩阵，如果存在阶矩阵，使=，则称为可逆矩阵，并称是的可逆矩阵。 例3.1 已知阶矩阵满足。证明+4可逆并求出.证明：把变形为(+4)（）=-5，可得（+4）（）=，所以存在一个矩阵=，B使（+4）=。由定义得+4可逆，且=.3.1.2 用伴随矩阵去求逆矩阵定理3.1.1 阶矩阵=（）为可逆的充要条件是非奇异。且 =，其中是中元素的代数余子式。矩阵称为矩阵的伴随矩阵，记作，于是有= . 例3.2 判断矩阵=，是否可逆？若可逆，求 .解： 因为=20，所以可逆。又=2，=-3，=2， =6，=-6，=2， =-4，=5，=-2.所以=.3.1.3 用初等变换去求逆矩阵 如果可逆，则可通过初等行变换化为单位矩阵，即存在相应的初等矩阵、使（1），用又乘上式两端，得（2），比较（1）、（2）两式，可知当通过行初等变换化为的同时，对单位矩阵作同样的初等行变换，就化为的逆矩阵.同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。(1)初等行变换如果阶矩阵可逆，作一个 2的矩阵（，），然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时即化为了。即（，）（，）.例3.3 用初等行变换求矩阵=的逆矩阵。解：（,），故=.(2)初等列变换如果阶矩阵可逆，作一个2的矩阵，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时化为,即.例3.4 用初等列变换求矩阵=的逆矩阵。解：=,所以=.(3)混合采用初等行、列变换如果阶矩阵可逆，列出三个矩阵如下：，（为单位矩阵）。对这三个矩阵施以变换，当对做一次行变换，便对左边的矩阵做同样的行变换；每对做一次列变换，便对右边的矩阵作同样的列变换。最后可得：，,所以=.3.4用分块矩阵去求逆矩阵 设、分别为、阶可逆矩阵，则，.例3.5 求矩阵的逆矩阵。解：令，所以，.故.3.1.5分解矩阵求逆法 分解矩阵求逆法，即将已知矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。定理3.1.2 设为阶可逆矩阵，且，其中已知，是可逆阵，又设可逆，则.（）例3.6求矩阵=的逆矩阵。解：=+=+=+由公式得：=特别的，当是l,是1，且=（1）时，公式（1）就变成了=-，此公式为Sherman-Morrvson公式。例3.7 =，求.解：设，则，=,=-=.利用Sherman-Morrvson公式可很快的求出类型，如：=的矩阵的逆。例3.8 当时，且(1-)时，求证：=.证明：=+ =（b-a）E+.于是由Sherman-Morrvson公式定理可求得的逆为：=，其中=.由该例题若求形如矩阵的逆，只要将、的值代入上述公式，即可求得。这比用初等变换、分块矩阵和伴随矩阵法要简单得多。3.1.6 特征多项式法定理3.1.3 设是矩阵，则可逆存在常数项不为0的多项式（x），使()=0.证：必要性，设的特征多项式为：()=其中，=0，而(A)=0，故(x)是适合条件的（x）.充分性，设（）=，0,则0=g(A)=A（）所以=-（）.3.1.7递推法 递推法利用阶可逆矩阵的-1阶矩阵的逆来递推得到原矩阵的逆。引理3.1.4 任何一个+1阶可逆方阵都可以只通过行列互换初等变换化为左上角为阶可逆块的方块方阵形式，即对任意+1阶可逆方阵，存在互换初等矩阵 （=）（=1,2,）使得=，其中，为阶可逆方阵，为1阶矩阵，为1阶矩阵，=，于是=.证明：由可逆知，至少有一个阶子式不为零，于是可以只通过行列的互换变换将此子式对应的矩阵换到左上角，得到新矩阵形式，即存在互换初等矩阵（=）（=1,2,）使得=，其中，、如条件所设，于是根据互换初等矩阵性质=即可得到定理后半部分结论。根据引理3.4,只需要考虑左上角的阶分块为可逆矩阵的+1阶可逆方阵.引理3.1.5 设+1阶可逆方阵=（）=，其中为阶可逆方阵， 为1阶矩阵，为1阶矩阵，=，则-0.证明：由分块矩阵乘法及可逆，有=，(1)由可逆，即可得到-0，证毕。推论 令=-，则=.证明：在（1）式两边取行列式既得。根据引理3.5，可得到下面的结论。定理3.1.6 ，如引理及推论所述，又令=-，=-，则=+=+，其中，=.证明：显然=，设的逆矩阵=，其中为阶方阵为1阶矩阵,为1矩阵，=，根据=，其中是阶单位矩阵，再由分块矩阵乘法和矩阵相等得到矩阵方程组根据可逆，由（3）式得=-， （6）将（6）式代入（5）式得=， （7）将（7）式代入（6）式得=， （8）又由（2）式得=-， （9）将（9）式代入（4）式得=， （10）将（10）式代入（9）式得=+（-）=+， （11）综合（7）（8）（10）（11）即可得到=+=+.定理证毕。推论1 设 =diag(,.,)(0,=1,2,.,+1),则=diag(，.，).证明：此时=0，=0，=,于是=+=.=diag(，.，) .推论2 设=()，则=.证明：设0，此时=，=，=，=，所以=+=，上式在=0也成立，证毕。例3.9 求矩阵的逆矩阵，其中=.解：=（1），且=-40，于是=（-3），=（-4），=（-4），所以=-=；又=-（-58，26），=-，=-，所以=+（-2）=.最后给出右下角为+1阶可逆矩阵的逆矩阵的递推公式。定理3.1.7 设+1阶方阵=（）=，其中为m阶方阵,为1，为1矩阵，=，则当，皆可逆时，有=+，其中=.3.1.8求方阵的逆矩阵的他法1、重要结论法利用逆矩阵的性质及一些结论，可迅速地求出一类矩阵的逆阵，这些性质和结论是：(1)初等矩阵的逆阵：（，），（,（），（），）(2)；(3)；(4)正交阵的逆阵：；(5)主、次对角线上的分块对角阵的逆阵：设都是方阵，且det0，i=（1，2，s）则， =；=.例3.10 设=，=，求.解：注意到为正交矩阵，由（4）知，=，所以=；由（5）或（1）得：=；于是=.例3.11 设=，0 (=1，2，.，)，求.解：设=，其中=diag(，)，由于det0，据（5）得=，这里=diag（，），故=.2、和化积法 对于一类给出矩阵之和的有关等式问题，通过适当的恒等变换，可化为形如=的形式，从而判断所求矩阵的可逆性，且可求出其矩阵。例3.12 设阶方阵满足+2-3=0，说明+是否可逆。若可逆，求此矩阵逆阵。解：由+2-3=（+）（-（-2）（-2-3）0得，(+）（-（-2）（-2-3）（3）（）.）当3且1时，+可逆，且（-（-2）；）当3时，有（3）（）0，若，则34，若，（3）0有非零解，得0，故3不可逆；）当1时，有（3）（）0，若3，则4，若3，则30，（）0有非零解，得0，故不可逆。3、设元法 对于给定的可逆阵，可假设的每个待求元，据及矩阵相等的条件，利用解方程组，逐个求出个元素。例3.13 已知：，其中、分别为、阶可逆方阵，求.解：设，其中与（，）为同形阵。由，得注：应用此法，还可得出：（）（，可逆）;（）（，可逆）;（）（，可逆）;（）（，可逆）。3.2 循环矩阵的逆矩阵的求法3.2.1解线性方程组法 由循环矩阵的性质（3）可知=（，.，）的逆矩阵为=（，.，），其中，=0，1，2，.，-1是线性方程组=的唯一解。例3.14求=（1，2，3）的逆矩阵。解：构造线性方程组=.已知=，=，解线性方程组得，得=，=，=故=（，）. 此方法在阶数比较大时要经过初等变换化为阶梯型才可解出方程组，此时计算量比较大，比较适用于低阶循环矩阵。3.2.2 欧几里得算法 令(x)=-1则()=0，即(x)是的最小零化多项式，同前，为全体实数集，设是上的一元多项式环，为上全体循环矩阵构成的集合，则关于矩阵的加法和乘法构成交换环，定义：，()()，()，易证是到的满环同态，由同态基本定理可得，即.定理3.2.1 循环矩阵=（，.，）可逆，当且仅当（()，-1）=1，即存在()，()使得()()+()（-1）=1，其中f(x)=+x+.+=1.利用定理可构造如下求逆的方法：求出()与-1的最大公因式()及()、(),使得：()+()（-1）=d() （1）.若()不是非零常数，则（，.，）不可逆；()若是非零常数，则（，.，）可逆此时将代入（1）式得()()=，从而=().例3.15 判断下列矩阵=是否可逆？若可逆，求其逆。解：利用辗转相除法可得-1=()()+,()=()()+18.上两式中消去，并整理得()+=1.由上知()=1,故可逆，且()=，则()=（，）=. 用欧几里德方法求循环矩阵的逆矩阵可直接判断该矩阵是否可逆，并且计算起来比较快捷。3.2.3 用三角算法（此算法可得循环矩阵求逆矩阵的公式） 由循环矩阵性质（6）我们得知存在，使得=.因为det为Vandermonde行列式，当1时有，故det0，因此可逆，从而可逆。当且仅当0，且 =，设=（，.，）， 由矩阵乘法规则可得公式：=，=0，1，2，.，-1.在一般情况下，用以上公式时需要进行大量的三角函数的计算，然而对于许多特殊的情况，只要充分利用次单位根的性质，就可以比较容易的求出所需要的逆矩阵。3.3一类阶数较高矩阵的逆矩阵的求法 对于二阶矩阵（1）当时，则可逆，且其逆为，利用这一简单结论可得出形如（2）一类方阵的逆矩阵，其中（2）中未标的元素主对角线上全为1，其它元全为0.定理3.3.1 矩阵（2）可逆，且矩阵（1）的逆为，则矩阵（2）的逆为 .证明：设矩阵（2）为，对施行一系列交换两行和两列的初等变