零力杆判断.ppt

1 第三章平面任意力系 2 若所有力的作用线都在同一平面内 且它们既不相交于一点 又不平行 此力系称为平面任意力系 简称平面力系 本章将研究该力系的简化与平衡问题 这是静力学的重点之一 本章还介绍平面简单桁架的内力计算 3 平面任意力系实例 4 1 力的平移定理 作用在刚体上点A的力F可以平行移动 简称平移 到任一点B上 但必须同时附加一个力偶 此附加力偶的矩等于原来力F对新作用点B的矩 3 1平面任意力系向作用面内一点简化 5 关于定理 1 该定理是力系简化的理论依据 2 无所谓平面 空间问题 3 只能适用于刚体 4 逆定理亦成立 6 2 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢与主矩 在平面内任取一点O 称简化中心 由力的平移原理 将各力分别平移到点O上 得一作用在点O的汇交力系F1 F2 F2 Fn 以及相应的附加平面力偶系M1 M2 Mn 设刚体上有一平面任意力系F1 F2 Fn 将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FR Mo 7 FR 是平面汇交力系的合力 它的大小和方向称为原力系的主矢 MO为平面力偶系的合力偶 但它是原力系的主矩 主矢与简化中心无关 而主矩一般与简化中心有关 故必须指明力系是对于哪一点的主矩 8 大小 方向余弦 主矩 结论 平面任意力系向作用面内任一点O简化 可得一个力和一个力偶 这个力等于该力系的主矢 作用线通过简化中心O 这个力偶的矩等于该力系对简化中心的矩 它们的解析表达式为 9 3 平面固定端约束 在工程实际中 有一种约束称为固定端 或插入端 支座 如电线杆的支座 阳台的支座等约束 使被约束物体既不能移动也不能转动 10 11 约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力 在平面问题中 它是一个平面任意力系 如图 a 所示 无论它们是如何分布 根据力系简化理论 可将它们向A点简化得一力FA及一力MA 如图 b 所示 也可表示成两个分力FAx FAy的形式 如图 c 共有三个未知数 b 12 13 4 平面任意力系的简化结果分析 简化结果可有四种情况 1 FR 0 MO 0 2 FR 0 MO 0 3 FR 0 MO 0 4 FR 0 MO 0 对以上进一步分析有以下三种情形 1 简化为一个力偶 当FR 0 MO 0 则原力系合成为合力偶 其矩为 此时主矩与简化中心选择无关 主矩变为原力系合力偶 即 14 简化为一个合力 当FR 0 MO 0 FR FR 当FR 0 MO 0 则原力系合成为合力 其作用线恰好通过选定的简化中心O 即 则原力系合成为合力 合力矢等于主矢 即 FR FR 15 至于作用线在点O哪一侧 需根据主矢方向和主矩转向确定 由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理 平面任意角力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和 即 平衡 但合力作用线不通过简化中心O 而到点O的距离d为 16 主矢 主矩 最后结果 说明 合力 合力 合力作用线过简化中心 合力作用线距简化中心 合力偶 平衡 与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关 小结 17 重力坝受力情况如图所示 设P1 450kN P2 200kN F1 300kN F2 70kN 求力系的合力FR的大小和方向余弦 合力与基线OA的交点到O点的距离x 以及合力作用线方程 题例3 1 将力系向O点简化 得主矢和主矩 如右图所示 解 18 主矢的投影 所以力系合力FR的大小 题例3 1 19 方向余弦 则有 因为力系对O点的主矩为 题例3 1 20 其中 故 解得 所以由合力矩定理得 设合力作用线上任一点的坐标为 x y 将合力作用于此点 则 可得合力作用线方程 或 题例3 1 21 3 2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1 平面任意力系平衡的平衡条件和平衡方程 对于平面任意力系平衡的情形 显然有 于是 平面任意力系平衡的必要和充分条件是 力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零 它的解析式为 平面任意力系平衡的解析条件是 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零 以及各力对任意一点的矩的代数和也等于零 上式称为平面任意力系的平衡方程 22 前面导出的是平面任意力系平衡方程的基本形式 它是两个投影式和一个力矩式 共有三个独立的方程 可以求出三个未知数 2 为了求解方便 应尽量使每个方程式中的未知数含量越少越好 一般投影轴尽可能选取该力系中多数力 尤其是未知力 的作用线平行或垂直 矩心选在未知力的交点上 注意 1 投影轴和矩心都可以任意选取的 两坐标轴不一定是正交 只要不相平行即可 原因何在 请读者自行考虑 矩心不一定是坐标轴原点 23 2 平面任意力系平衡方程的其它形式 应用平面任意力系平衡方程的基本形式解题 有时还不能避免解联立方程 为了简化计算 还可选择其它形式的平衡方程 1 二力矩形式的平衡方程 即两个力矩式和一个投影式 但必须注意 x轴不得垂直于A B的连线 证明 略 24 这是因为平面任意力系向已知点简化只可能有三种结果 合力 合力偶或平衡 若力系已满足了 则表明力系不可能简化为一力偶 只可能是作用线通过A点的一个合力 或者是平衡 如果该力系又同时满足 则该力系合成结果或者是作用线通过A B两点的一个合力 或者是平衡 但当该力系又同时满足 而x轴不得垂直于AB连线时 显然力系不可能有合力 这就表明 只要满足以上三个方程及附加条件 该力系必平衡 25 2 三力矩形式的平衡方程 即三个力矩式 但必须注意 A B C三点不得共线 其证明从略 无论是二矩式还是三矩式 都是一组独立的平衡方程 思考 平面任意力系的平衡方程能否用三个投影方程而不用矩方程 26 小结 平面任意力系平衡方程的三种形式 一般式 二矩式 AB两个取矩点连线 不得与投影轴垂直 三矩式 A B C三个取矩点 不得共线 27 3 平面平行力系的平衡方程 只有两个独立平衡方程 只能求解两个未知数 上式是平面平行力系平衡方程的基本形式 它的二矩式是 但A B两点的两线不得与力作用线平行 请自证 若力系中所有力的作用线都在同一平面内且平行 称为平面平行力系 它是平面任意力系的特殊情况 如图所示 当取x轴与力系中各力垂直 则自然满足 则平面平引力系平衡方程为 28 说明 1 先确定研究对象 进行受力分析 画出受力图 建立坐标系 列平衡方程求解 1 选取适当的坐标轴和力矩中心 可减少方程中未知的数目 矩心应取在未知力的交点上 坐标轴应尽可能多地与未知力垂直 2 尽量多用取矩方程 2 能用三力平衡定理确定力的方向的 就不要正交分力表示 3 对于求解过程中牵扯到的角度等几何量 要说清楚 4 主动力的分力 分解力 不要画在受力图上 29 已知 AC CB l P 10kN 求 铰链A和DC杆受力 用平面任意力系方法求解 解 取AB梁 画受力图 解得 题例3 2 例2 1 30 解 取起重机 画受力图 解得 题例3 3 31 解 取AB梁 画受力图 解得 题例3 4 32 解 取T型刚架 画受力图 其中 题例3 5 33 解得 解得 解得 题例3 5 34 已知 尺寸如图 求 1 起重机满载和空载时不翻倒 平衡载重P3 2 P3 180kN 轨道AB给起重机轮子的约束力 解 取起重机 画受力图 满载时 为不安全状况 解得P3min 75kN 题例3 6 35 P3 180kN时 解得FB 870kN 解得FA 210kN 空载时 为不安全状况 4P3max 2P1 0 解得F3max 350kN 题例3 6 36 3 3物体系的平衡 静定和超静定问题 前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题 对应于每一种力系 其独立的平衡方程数目都是一定的 因此 对于每一种力系 能求解的未知数的数目也是一定的 1 静定问题 如果所考察的物体的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目 那些未知数就可全部由平衡方程求出 这类问题称为静定问题 一 静定和超静定问题概念 37 2 超静定问题 若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目 仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数 这类问题称为超静定 或静不定 问题 3 静不定结构产生的原因 为增加结构的强度 刚性 稳定性等而产生的 38 39 40 图 a 是静定的 图 b 是一次超静定 图 c 又是静定的 图 d 是二次超静定 图 a 图 b 图 c 在下面各图中 并没有给出结构的主动载荷的形式 试问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗 指出哪些是静定 哪些是超静定 并给出超静定的次数 图 d 41 超静定问题并不是不能求解的问题 而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题 工程上很多结构都是超静定的 由于结构增加了多余约束后 使结构更大的刚度和坚定性 更经济地利用材料 使安全更可靠 如果考虑到物体受力后的变形 除平衡方程外 加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力 这将在材料力学 结构力学等课程中加以研究 42 二 物体系统的平衡1 问题的提出 物系 由几个物体通过某种约束的联系组成的系统 物系平衡的特点 取物系为研究对象 解不出所求的所有未知量 但有时静定问题 如图 梁有两部分组成 每部分有3个平衡方程 共6个平衡方程 未知量除了图中所画的3个约束力和1个约束力偶外 尚有铰链C处的2个未知力 共计6个 因此 也是静定的 但取物系为研究对象 解不出所求的所有未知量 43 2 处理问题的依据 物系处于平衡 则组成物系的各个物体都处于平衡 将物系拆开 增加平衡方程数目 最多3N个 N为构件的数目 作用与反作用定律 4 注意内力 3 解题步骤和注意问题 根据所求问题和已知条件 绘草图 确定解题思路 一般从总体 有已知力的受力构件入手 注意作用与反作用定律 不管求出的力是正还是负 力 中间不要改变方向 44 已知 OA R AB l F 不计物体自重与摩擦 系统在图示位置平衡 求 力偶矩M的大小 轴承O处的约束力 连杆AB受力 冲头给导轨的侧压力 题例3 7 45 解 取冲头B 画受力图 解得 解得 题例3 7 46 取轮 画受力图 解得 解得 解得 题例3 7 47 解 取CD梁 画受力图 解得FB 45 77kN 题例3 8 48 解得 解得 解得 取整体 画受力图 题例3 8 49 已知 P1 P2 P 2P1 r R 2r 求 物C匀速上升时 作用于轮I上的力偶矩M 轴承A B处的约束力 题例3 8 50 解 取塔轮及重物C 画受力图 解得 由 解得 解得 解得 题例3 8 51 取轮I 画受力图 解得 解得 解得 题例3 8 52 已知 DC CE CA CB 2l R 2r l P 各构件自重不计 求 A E支座处约束力及BD杆受力 题例3 10 53 解 取整体 画受力图 解得 题例3 10 解得 解得 54 取DCE杆 画受力图 解得 拉 题例3 10 55 3 4平面简单桁架的内力计算 工程中 屋架 桥架 电视塔 起重机 输电线塔等结构物常用桁架结构 56 57 58 59 桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不变的结构 桁架中杆件铰链接头称为节点 所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架 桁架的优点是 每根杆件只承受拉力或压力 可以充分发挥材料的作用 节省材料 减轻结构的自重 为简化桁架的计算 工程实际中采用以下几个假设 1 桁架中各杆件部是直杆 2 杆件用光滑铰链连接或可以简化的铰链连接 3 所受外力都作用在桁架平面内 而且都作用在节点上 4 杆件自重不计 或平均分配在杆件两端的节点上 假设的桁架成为理想桁架 桁架中每根杆件都可以视为二力杆 60 总杆数m 总节点数n 61 平面复杂 超静定 桁架 平面简单 静定 桁架 非桁架 机构 62 本节只研究平面静定桁架 如图所示 以基本三角形ABC为基础 每增加一个节点 需要增加两根杆件 依次类推可得桁架称为平面简单桁架 如果两支承点是简支的 很容易证明此桁架是静定的 63 若分离体只包含一个节点 称为节点法 为平面汇交力系的平衡 两种计算桁架内力的方法 节点法和截面法 1 节点法 2 截面法 桁架的计算就是二力杆内力的计算 如果桁架是平衡的 则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的 若分离体包含两个以上的节点 称为截面法 为平面任意力系的平衡 64 应注意的问题 1 首先判断桁架是否静定 2 除了悬臂桁架外一般要先求支座反力 3 所有杆件的内力先设为拉力 计算结果为负 说明该杆为压力 4 用节点法时 节点上的未知力一般不能多于两个 用截面法时 节点上的总未知力一般不能多于三个 否则不能全部解出 65 判别零杆的方法有以下几种 如图所示 图 a 中节点上不受力 杆1 2均为零杆 图 b 中节点上不受力 杆3为零杆 图 c 中 在节点上沿杆1方向作用力F 则杆2为零杆 注意 有些杆 不需进行计算就可确定它的内力 应尽可能先把它找出来 特别是所谓零杆 即不受力的杆 当然这仅是理论上的 当桁架稍有变形或受力稍有变动 此杆内力就不为零 不过受力很小而已 66 已知 P 10kN 尺寸如图 求 桁架各杆件受力 解 1 取整体 画受力图 题例3 10 67 2 取节点A