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第2章 力系的等效与简化2.1 力系等效与简化的概念2.1.1 力系的主矢与主矩主矢的概念： 由若干多个力所组成的力系中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称为主矢，用表示，即 注意：主矢只有大小和方向，未涉及作用点。对一个确定的力系主矢是唯一的。主矩的概念： 力系中所有力对同一点之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩，用表示，即 注意：主矩是对某一确定点的。同一力系对不同的点其主矩一般不同。 2.1.2 等效的概念设有两力系和。，。等效力系：如果两力系的主矢和对同一点的主矩分别对应相等，二者对同一刚体就会产生相同的运动效应，则称则两个力系为等效力系。2.1.3 简化的概念力系的简化：将由若干个力和力偶所组成的力系，变为一个力或一个力偶或者一个力和一个力偶等简单而等效的情形。这一过程就称为力系的简化。2.2 力偶及其性质2.2.1 力偶-最简单、最基本的力系1、力偶的概念工程实例：方向盘 搅拌器 丝锥 力偶：两个大小相等，作用线不重合的反向平行力组成的力系。记为。 力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离，称为力偶臂。力偶的作用面：力偶所在的平面。 2、 力偶矩力偶使物体产生绕某点转动的效应。 若任意另取一点仍有。这说明：该力偶对点的力矩与点的位置无关，称为这一力偶的力偶矩矢量。平面力系：力偶的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内任一点的矩的代数和来度量。 ：力偶臂 力偶对作用面内任一点的矩恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘积。与点的位置无关。正负号表示力偶的转动方向：逆时针转向为正；顺时针转向为负。 力偶矩唯一地决定力偶对物体的转动效应。力偶矩矢量的方向：用右手螺旋法则判定。单位：国际单位制中 牛顿米 或 千牛顿米2.2.2 力偶的性质 力偶对物体只能产生转动效应，而决不会产生移动效应。性质一：力偶既不能合成为一个力，其本身又不平衡，即在任何情况下都不能与一个力等效，也不能被一个力平衡；力偶是一个最简单的特殊力系。由此可知，力偶在任何坐标轴上的投影等于零。性质二：在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，或在其作用面内任意移动或转动，而不会改变力偶对物体的转动效应。如： 根据这一性质，可以用力偶面内的一个圆弧箭头来表示力偶，圆弧箭头表示力偶的转向。力偶的三要素： 力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。2.2.3 力偶系及其合成1、力偶系：由两个或两个以上的力偶组成的系统。平面力偶系：作用在同一物体上同一平面内的若干力偶。2、合成 两个力偶的合成：设在物体的同一平面内作用有两个力偶和，其力偶矩分别为 ， 。 得两新力偶和，其力偶矩为 ,。 合力偶：合力偶的力偶矩 任意个力偶的合成 对于由任意个力偶组成的平面力偶系 即，平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。 【例】用三轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一个力偶。已知三个力偶的矩大小分别为：。转向如图。如定位螺栓之间的距离，求两定位螺栓所受的力。解：取工件为研究对象。画出受力图。列出平衡方程： 2.3 力系简化的基础-力向一点平移定理力向一点平移定理 定理：作用在刚体上某点的力，可以平行移动到刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。 一个力可分解为一个力和一个力偶，反之，也可将一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力合成为一个力。2.4 平面力系的简化2.4.1 平面汇交力系与平面力偶系的合成结果1、力在坐标轴上的投影 设力作用于物体的点。从力的两端向轴作垂线。线段是力在轴上的投影，用表示，即。力在轴上的投影是一个代数量，其正负号规定为：若由到得方向与轴的方向一致时，力的投影取正值；反之取负值。同理，。显然 式中分别是与轴的夹角。把力沿轴分解，得到两个正交分力，。投影的正负号指明分力是沿坐标轴的正向还是负向。可见力在轴上的投影可同时表明力沿直角坐标轴分解时的分力的大小和方向。注意：力的投影是代数量，而分力是矢量； 没有作用点，而必须作用在原力的作用点。若已知力在正交坐标轴上的投影为，则的大小 ：的方向余弦。 ， 【例】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知,各力方向如图所示。解：由上公式得 ； ；2、平面汇交力系的合成平面汇交力系：各力的作用线在同一平面内并且相交于一点的力系。平面汇交力系可合成为一个通过该相交点的合力。 例如： 主矢： ， ， 【例】求图示平面汇交力系的合力的大小和方向。已知。解： 在第四象限。例题2-1 固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力，各力的方向如图所示，各力的大小分别。试求螺钉作用在墙上的力。解：要求螺钉作用在墙上的力可先求作用在螺钉上所有力的合力。 根据力的平衡可知，墙给螺钉的作用力应与大小相等方向相反。再根据牛顿第三定律可知，螺钉作用在墙上的力 ，方向与相同。3、平面力偶系的合成 设在同一平面内作用有n个力偶。 对于由任意个力偶组成的平面力偶系 即，平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。例题 2-2 作用在刚体上的6个力组成处于同一平面内的3个力偶，如图所示，其中。图中长度单位为，试求3个平面力偶所组成的平面力偶系的合力偶矩。解：， ， 2.4.2 平面一般力系向一点简化平面一般力系：各力的作用线在同一平面内任意分布的力系，称为平面一般力系。 设刚体上作用有由n个力所组成的平面一般力系。将其向点简化，称为简化中心。整个平面一般力系被分解为两个基本力系：一个是汇交于点的平面汇交力系；另一个是力偶矩分别为的附加力偶系。 平面汇交力系可以合成为一个力 力偶系可以合成为一个同平面内的合力偶 2.4.3 平面力系的简化结果 平面一般力系向作用面内任一点简化，可以得到一个力和一个力偶，这个力矢等于力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢；这个力偶的力偶矩等于力系中各力对简化中心的矩的代数和，称为原力系对点的主矩。主矢的大小和方向均与简化中心的位置无关，而主矩则一般地与简化中心的位置有关。所以凡是提到力系的主矩，都必须标明简