3.4.1基本不等式的证明

基本不等式教学设计江阴市成化高中 顾红华自主梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_ a0_，_ b0_.(2)等号成立的条件：当且仅当_ ab_时取等号2几个重要的不等式(1)a2b2_2ab_ (a，bR)(2)_2_(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2_.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：_两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数_.4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_ xy _时，xy有最_小_值是_2_(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_ xy _时，xy有最_大_值是_(简记：和定积最大)自我检测1“ab0”是“ab”的_充分不必要_条件2已知函数f(x)x，a、b(0，)，Af，Bf()，Cf，则A、B、C的大小关系是_ ABC _3下列函数中，最小值为4的函数是_(填上正确的序号)yx；ysin x(0x)；yex4ex；ylog3xlogx81.4设函数f(x)2x1(x0，a恒成立，则a的取值范围为_，)_探究点一利用基本不等式求最值例1(1)已知x0，y0，且1，求xy的最小值；(2)已知x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当时，上式等号成立，又1，x4，y12时，(xy)min16.(2)x0.y4x232 31，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1.xy(xy)101021022 18，当且仅当，即x2y时取等号又2x8yxy0，x12，y6.当x12，y6时，xy取最小值18.变式迁移1(2011重庆改编)已知a0，b0，ab2，则y的最小值是_解析ab2，1.()()()2(当且仅当，即b2a时，“”成立)，故y的最小值为.探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例2已知a0，b0，ab1，求证：(1)(1)9.解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法证明方法一因为a0，b0，ab1，所以112.同理12.所以(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9(当且仅当ab时等号成立)方法二(1)(1)111，因为a，b为正数，ab1，所以ab()2，于是4，8，因此(1)(1)189(当且仅当ab时等号成立)变式迁移2已知x0，y0，z0.求证：8.证明x0，y0，z0，0，0，0.8.当且仅当xyz时等号成立所以()()()8.探究点三基本不等式的实际应用例3(2010镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为：2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案解(1)依题意得y(56048x)56048x (x10，xN*)(2)x0，48x21 440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为5601 4402 000(元)答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元变式迁移3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)解(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x3323.当销售x(万件)时，年销售收入为150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y (t0)(2)y5050250242(万元)，当且仅当，即t7时，ymax42，当促销费投入7万元时，企业的年利润最大1a2b22ab对a、bR都成立；成立的条件是a0，b0；2成立的条件是ab0，即a，b同号2利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值3使用基本不等式求最值时，若等号不