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文档简介

平面向量应用举例 第一课时平面几何中的向量方法 知识回顾 1 两个向量的数量积 2 平面两向量夹角公式 3 求模 4 共线向量定理 5 平面向量基本定理 6 非零不共线向量满足 则m n 0 0 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景 平面几何的许多性质 如平移 全等 相似 长度 夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 因此 利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 如图 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗 猜想 长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系 类比猜想 平行四边形有相似关系吗 分析 不妨设 则 解 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何元素 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 可简单的表述为 形到向量 向量的运算 向量和数到形 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 如图 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗 思考 如果不用向量的方法 你能证明上述关系吗 例2 如图 ABCD中 点E F分别是AD DC边的中点 BE BF分别与AC交于R T两点 你能发现AR RT TC之间的关系吗 猜想 AR RT TC 解 第一步 形到向量 第二步 向量的运算 第三步 向量和数到形 故AT RT TC 1 已知 AD BE CF是 ABC的三条中线 求证 AD BE CF交于一点 2 已知 ABC的三个顶点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则重心G的坐标为 3 用向量法证明 三角形三条高线交于一点 1 已知 AD BE CF是 ABC的三条中线 求证 AD BE CF交于一点 证明 如图AD BE相交于点G 联结DE 1 已知 AD BE CF是 ABC的三条中线 求证 AD BE CF交于一点 因此C G F三点在同一直线上 所以 AD BE CF交于一点 2 已知 ABC的三个顶点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则重心G的坐标为 解 设原点为O 则 3 用向量法证明 三角形三条高线交于一点 证明 设H是高线BE CF的交点 所以 三
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