平均值及乘积的极限探讨与应用.doc

长沙学院 CHANGSHA UNIVERSITY本科生毕业论文论 文 题 目： 平均值及乘积的极限 探讨与应用 系部： 信息与计算科学专 业： 数学与应用数学学 生 姓 名： 彭 小 英班 级：一班学号2010031109指导教师姓名：李定武职称 副教授长沙学院教务处 二一一年二月制（2014届）本科生毕业论文平均值及乘积的极限探讨与应用系部： 信息与计算科学专 业： 数学与应用数学学 生 姓 名： 彭 小 英班 级：一班学号2010031109指导教师姓名：李定武职称 副教授最终评定成绩 2014年 5 月 长沙学院毕业论文 摘 要在很多问题的研究中，常常会涉及到平均值平均值的类型相对来说比较复杂本文主要探讨平均值及乘积的极限问题与应用本文就平均值的基本类型（包括数的平均值和函数的平均值）进行了探讨，分析数的平均值的基本性质，归纳总结出函数的平均值的性质探究算术平均值、几何平均值以及调和平均值的基本关系，及在不等式领域的重要性并将简单平均值推广到一般化，得到关于推广后的平均值间的一般形式的基本关系进一步研究数的平均值极限存在的充要条件及平均值和乘积在求极限方面的应用构造了广义幂平均值函数的极限性质及其应用，使人们更加清楚地认识平均值的重要作用，了解平均值对不同函数的应用关键词：平均值，乘积，极限I 长沙学院毕业论文 ABSTRACTThere are many problems in the studies which often consider revising the mean. The type of mean value is relatively complex. This paper mainly discusses the limit of the average value and the product and their application. The basic types of mean (including the number of average value and the function of average value) are discussed in this paper. It analyzes the basic nature of the number of average, and sum up out the nature of the function of average value. To explore the basic relationship and the importance in the field of inequality among the arithmetic mean, geometric mean and harmonic mean. It promotes the simple average value to generalization, and gets promotion after the general form of the basic relationship between the mean. It researches the sufficient and necessary condition for the existence of the limit of the mean value and the product, and the application about the mean and product. The article constructs the generalized power the asymptotic properties of mean value function and its application, and makes people more clearly understand the crucial importance of average, and understand the average for the application of different functions. Keywords: Mean Value, Product, Limit目 录摘 要IABSTRACTII第1章 绪论1第2章 平均值及其基本关系32.1 数的平均值的概念与性质32.1.1 数的平均值的概念32.1.2 数的平均值的性质42.2 函数的平均值的概念与性质52.2.1 函数的平均值的概念52.2.2 函数的平均值的性质6第3章 平均值及乘积的极限83.1 极限概念83.1.1 数列极限概念83.1.2 函数极限概念83.2平均值极限存在的充要条件93.2.1 算术平均值极限存在的充要条件93.2.2 调和平均值存在的充要条件103.2.3 几何平均值存在的充要条件113.3 平均值的推广133.3.1 平均值不等式的一般形式133.3.2 广义幂平均值函数19第4章 平均值及乘积的极限应用23结 论27参考文献28致 谢29III 长沙学院毕业论文 第1章 绪论 极限理论是微积分学的基础，很久以前便有比较清楚的阐述十七世纪的很多闻名的数学家、天文学家、物理学家（如牛顿、莱布尼茨）均为微积分的创办做出了巨大的贡献十七世纪下半叶，在前人研究的基础上，英国大科学家牛顿(1642-1727，Newton,I)和德国数学家莱布尼茨(1646-1716，Leibniz,G,W)单独钻研和实现了微积分的创办工作他们创设微积分的初衷是直观的无穷小量，牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨倒是偏重于几何学的角度来考量的微积分学的创建，很大程度地推进了数学的发展然而，始创的微积分学的很多概念及理论是含糊不清的，如无穷小、极限等直到十九世纪初，法国科学学院以柯西为首的科学家，对微积分理论进行了认真研究，建立了极限理论，自后又通过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严谨化，是极限理论成为了微积分的坚实根蒂微积分学的核心概念之一就是极限，作为研究函数最基本的方法极限思想，早在远古时代便有比较详细的论述我国魏晋期间有名的数学家刘薇于公元263年创建了“割圆术”，是利用了极限思维在近代数学很多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推论、延拓和强化在数学分析中，极限是全部学习过程的根蒂，极限思想是解决许多问题的依据其中，极限又大致分为数列极限和函数极限（见文献1），重点探讨了数列极限和函数极限的性质及存在条件，并简单介绍了求解极限的基本方法比较完整的极限求解的方法，在刘三阳等人编写的数学分析选讲中有详细的介绍了（见文献2）在极限问题中两个重要极限是非常重要的，无论是在极限内容的教学中，还是在实际应用中都占有重要的地位利用它可以求出其它函数（特别是幂指函数）的极限在各种高等学校的教材中对重要极限的形式及快捷计算方法都有讨论，但习题较少，导致学生往往不知道如何开始，即使错了一次又一次徐满怀就课本中用“重要极限”求解相关极限的问题，归纳出一种简便实用的方法，即用“重要极限”的推广求解（见文献3）使得此类极限的求解方法目的明确、自然而，王锦莉，陈新一利用恒等变换研究一类极限的命题，得到了该类极限的若干推广形式，深化了学生对重要极限的理解（见文献4），同样的研究内容，范锦芳也有自己的独特见解（见文献5）的确，极限问题不仅是学习的重点，同样也是学习的难点，迄今为止，关于极限问题的研究仍有很多，在极限问题中，有一类涉及到平均值问题，关于平均值，很多的人有这方面的研究.至于平均值，人们并不陌生，算术平均值、几何平均值以及调和平均值，是最简单且历史悠久的古典平均值波利亚，舍贵在（文献6）中就平均值的类型及极限进行了相应的研究，研究领域主要是数列和函数的算术平均值、几何平均值以及调和平均值，同时对某些乘积的极限也进行了探讨，并简单介绍了平均值与乘积的关系及应用，为解决某些特殊的极限问题奠定了基础在平均值的极限探讨问题上，并未强调这些极限存在的条件，张培恒就平均值极限存在的充要条件进行了相应的研究（见文献7）使得简单平均值的极限问题求解更加严谨张永峰、余宏杰、胡国全等人通过概括、归纳将简单平均值进行了推广（见文献8、9、10、11、12），使得平均问题越来越完善总的来说，这些知识还是相对比较零散，不够全面关于平均值及乘积的极限问题始终没有一个专门的体系，同时，平均值及乘积的应用与推广也没有系统地归纳和总结由此，我们不难看出，平均值问题确实是学术研究上的一个热点，同样也是一个难点关于平均值及乘积的极限问题，可以说是极限问题研究上的新领域，该领域的攻克，对极限问题的发展和完善起到至关重要的作用本文就平均值的基本类型（包括数的平均值和函数的平均值）进行了探讨，分析数的平均值的基本性质，归纳总结出函数的平均值的性质，探究算术平均值、几何平均值以及调和平均值的基本关系，及在不等式领域的重要性；并将简单平均值推广到一般化，得到关于推广后的平均值间的一般形式的基本关系进一步研究数的平均值极限存在的充要条件及平均值和乘积在极限方面的应用 第2章 平均值及其基本关系 2.1 数的平均值的概念与性质在很多问题的研究中，常常会涉及到平均值问题，平均值问题主要研究平均值平均值的类型相对来说比较复杂，研究领域主要分为两大块：一是数（或数列），二是函数数的平均值相对来说比较简单，主要研究平均值：算术平均值、几何平均值和调和平均值本章节将重点研究数的平均值及其基本关系2.1.1 数的平均值的概念古典平均值中的算术平均值是我们所接触到的最简单的一类平均值，也就是集合平均数的值1. 算术平均值定义2.1 1 ，为任意实数它们的算术平均定义为 (2.1)2. 几何平均值定义2.2 6 设，为任意正实数，则它们的几何平均定义为 (2.2)3. 调和平均值定义2.3 6 设，为任意正实数，则它们的调和平均定义为 (2.3)2.1.2 数的平均值的性质有了这些关于数的简单平均值的基本形式后，我们来探讨它们之间的联系设，为任意正实数，若记，则有下面的结论：性质2.16 设，为任意正实数，则当且仅当所有的都相等时，等号成立性质2.26 设，为任意正实数，则，性质2.36 设，为任意正实数，它们不全相等，则，即 (2.4)证明 显然，我们这里只需证明令，设为字母的个数，只须证明一般有 ， (2.5)或 (2.6)现在，首先，对，显然有 ，由此推出，当依次取，直到时， (2.7)其次，如果不是几何级数 ，中的某一项，我们用记在级数中比大的一项，并置；然后，把公式(2.7)左面最后的个因式使之等于，由公式(2.7)可得，或者，由此推出，这就是我们所要证明的 2.2 函数的平均值的概念与性质通过对上面数的平均值的探讨，我们对平均值有了更加深入的了解，但它们的领域仅仅局限于有限个数，即离散型平均值，在解决实际问题时有一定的局限性，即只对有限个数有上面的结论若有无穷个数时，如定义在某个区间上的函数，上面的结论就不能用了为此，我们进一步探讨函数（即连续型）的平均值本节将介绍连续型的平均值，即函数的平均值的概念2.2.1 函数的平均值的概念 有一些经典的平均值为依据，我们可以把离散的平均值扩展到函数的平均值，下面将介绍函数的算术平均值、几何平均值和调和平均值1. 算术平均值设函数定义在区间上，并在这区间上常义可积，将区间分成个小区间，在每个小区间内任取一点（），类比数的算术平均值，则有 ，又，那么，即函数的算术平均值定义2.41 设函数在区间上有定义且常义可积我们规定的算术平均为 (2.8) 类似地，我们可以定义函数的几何平均值和调和平均值2. 几何平均值同上，函数的几何平均值可以表示为定义2.56 设函数在区间上有定义且常义可积，若为严格正的，即如果存在一个正整数，使当在中时，都有，则的几何平均可定义为 (2.9)3. 调和平均值同理可得：函数的调和平均值可以表示为定义2.66 设函数在区间上有定义且常义可积，若为严格正的，即如果存在一个正整数，使当在中时，都有，则的调和平均可定义为 (2.10)2.2.2 函数的平均值的性质若和分别表示在上的下确界和上确界，则有下面的结论：性质2.46 ，对于和我们假定下面的关系是显然的：性质2.56 ，由性质2.3可知，函数的平均值也存在着同样的性质，即性质2.66 设函数定义在区间上，并在这区间上常义可积，设有一正的下界，则 （2.11）或，用刚才定义的记号，7 长沙学院毕业论文 第3章 平均值及乘积的极限3.1 极限概念研究函数最基本的思维方式极限思想，在很久以前便有较为清楚的阐述我国魏晋期间著名的数学家刘薇于公元263年创建了“割圆术”，是利用了极限思维在近代数学很多分支中一些关键的概念及理论均是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化在数学分析中，极限是整个学习过程的基础，极限思想是解决许多问题的依据极限主要分为数列极限和函数极限3.1.1 数列极限概念 定义3.11 设为数列，为定数若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，定数称为的极限，并记作 ，或， （3.1）读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”3.1.2 函数极限概念 在文献1中介绍了函数极限，一个函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当参数趋于时，对应的函数值能否无限地接近于一个固定的数，例如，一个函数，从它的图象上可见，当趋于无限大时，函数值无限地接近于，而对函数，则当趋于时函数值无限地接近于，咱们称这两个函数当趋于时有极限，因而，当趋于时，精确的函数极限，往往这样定义：定义3.21 设为定义在上的函数，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 （3.2）3.2平均值极限存在的充要条件在前面我们探讨了离散型和连续型的平均值及其性质，这都是静态的性质本节将它们的动态性质，即它们的极限3.2.1算术平均值极限存在的充要条件 在文献2中有这样一道习题，设，证明 这道题的证明思路比较简单，利用定理即可得证，取， ，则严格单增，而且 ，由定理得由此可以得到，若，则那么反过来是否成立呢？结论是不成立的，例如，那么，要使得其逆也成立，必须满足什么样的条件呢？我们有下面的定理：定理3.1 对任意的数列，若 ，则 （3.3）的充要条件是 证明 充分性：因为，所以对任意的，存在，当时，有，于是 因为（注意分子为常数），所以存在，当时，有，于是当时，有，由极限的定义有 或利用定理证明：取， ，则严格单增，而且 由定理得必要性：因为，所以对任意的，存在，当时，有，又因为，所以（A为常数）在此，由附加条件，得到了数列前项算术平均值极限存在的充要条件现在我们用此条件进一步讨论关于数列前项几何平均值与调和平均值极限存在的充要条件3.2.2 调和平均值存在的充要条件引理3.17 设数列，若 ，则 （3.4）证明 因为，所以 且 ，所以由迫敛性定理可知，由此，我们得到调和平均值极限存在的充要条件定理3.27 设， ，则 （3.5）的充要条件是 证明 充分性：因为，则，由定理1得则有所以必要性：因为，所以据引理3.1及定理3.1知，所以3.2.3 几何平均值存在的充要条件引理3.27 设，若则证明 任意，由中值定理可得 ，所以当时，有因为，所以任给，存在，当时，当时，即由此我们得到几何平均值极限存在的充要条件定理3.37 若，且则 （3.6）的充要条件是 证明 充分性：因为，所以 ，又因为 ，利用定理3.1，有，所以，同理，由夹逼定理得还可以利用定理：令，则取，则由定理得，即必要性：，而，所以只需证明事实上，令，根据定理及引理3.2知 ，所以即3.3 平均值的推广个数的乘积与它们的几何平均值有某种形式的联系，取对数后，几何平均值可以转化为相应的算术平均值讨论这里不再讨论平均值在形式上可作如下推广3.3.1 平均值不等式的一般形式平均值是解析不等式理论的基石从简单的平均值不等式，如均值不等式（又称基本不等式），再到本文第二章所给出的平均值间的基本关系，对于解决不等式问题非常关键对于均值不等式，我们有下面更一般的结论：定理3.46 设，（），则 ， （3.7） 证明 先证令，则，那么函数为上凸函数又，所以，令，则有，又，所以有，即 （3.8） 令，则有 ， （3.9）将（3.9）式带入（3.8），有，即 ，所以有下证令，则，那么函数为下凸函数又，所以令，则有，又，所以有，即 （3.10）令，则有 ， （3.11）将（3.11）式代入（3.10），有，即，所以有所以不等式成立特别地，当时，即为(2.4)式，由此，我们得到了关于算术、几何与调和平均值的更一般的表达式，即（3.7）式如果将离散型变为连续型，得到的平均值存在着同样的关系，即定理3.56 设和为区间上正的连续函数，且不是常数那么不等式 （3.12）成立证明 先证令，则，那么函数为上凸函数又，所以令，为区间上正的连续函数，则有，又为区间上正的连续函数，所以有， 即 （3.13）令，得， （3.14）将（3.14）式带入（3.13）式，有所以下证令，则，那么函数为下凸函数又，所以令，为区间上正的连续函数，则有，又为区间上正的连续函数，所以有，即 （3.15）令，则有， （3.16）将（3.16）式带入（3.15），有，即，所以有所以不等式得证特别地，当，区间变为时，即为(2.11)式所示，由此，我们得到了有关连续型古典平均值更一般的命题使得离散型和连续型的平均值的基本关系分别得到了推广，即从特殊形式推广到一般形式为我们解决有关平均值的不等式问题奠定了基础除了形式上一般化的推广，平均值还可以作如下推广3.3.2 广义幂平均值函数在文献8中介绍了广义幂平均值函数，广义幂平均值函数研究了参变量趋向于零时的极限恰为几何平均值、及参变量趋向于正无穷大时的极限恰为数组中的较大者，前一种情况说明了广义幂平均值的连续性，后一种情况说明了广义幂平均值的取大优先的倾向1. 广义幂平均的构造设有个正数，记，称之为个正数关于参变量的广义幂平均值函数2. 广义幂平均值函数的连续性命题3.18 广义幂平均值函数 ， (3.17)在上连续 证明 当时，由复合函数的连续性的运算法则，易证命题成立，当时，（方法一） （方法2）因为，所以有，而极限，及，所以有即，此时连续综上，在上连续，证毕推论3.18 ， (3.18)其中，为个正数 证明 命题3.1中取，即便可证得结论成立证毕注 若干个正数的次方根先求算术平均值，再次方，称之为次方根平均值，这样量纲保持不变，此结论表明次方根平均值，随时趋向于这些正数的几何平均值 此类极限属于幂指类未定式中的型推论3.28 设，则 (3.19)证明 ，因为，而所以得3. 式(3.17)中参变量趋向于正无穷大时，幂平均值函数的取大优先的倾向命题3.28 ， (3.20)其中，为个正数 证明 设 ，而，由夹逼准则知，故命题成立，证毕推论3.38 ， (3.21)其中，为个正数 证明 证明方法类似于命题3.2，设，而，由夹逼准则知，故命题成立，证毕注 当时，此极限属于幂指类未定式，其中时，原极限为，当时，原极限为型 当时，此极限不再属于幂指类未定式，而已经成为确定型，结论仍然成立23 长沙学院毕业论文 第4章 平均值及乘积的极限应用 众所周知，算术平均值、几何平均值以及调和平均值，是最简单且历史悠久的古典平均值，它们是解析不等式理论的基石在实际工作中，有关数的平均或函数的平均问题，应用较多，而从数学本身来看，也常涉及与平均值有关的问题，大致有两种极限与不等式例4.1 设，证明：证明 根据定理3.1有（）例4.2 利用定理3.1证明下列各题：（1）；（2）证明 （1）设，则由定理3.1得（2）设，则由定理3.1得，即例4.3 设，求解 令，则由定理3.1得，特别取，则，所以例4.4 求极限：（1）；（2）解 （1）令，则；（2） 由数列加权平均值的极限例4.5 求极限：解 设，则，而，故 ，即，由定理3.1知且，故例4.62 设，证明：证明 设，其中（）于是由定理知，上式第二、第三项极限为，对第四项，由于，（），存在常数，使于是，因此得证本题研究的是数，若将和换成函数，结论是否成立？有兴趣者可自行讨论例4.6 求极限，其中，均为正数解 原式属于幂指函数类未定式中的类型，在推论3.1中，取，易得例4.78 求极限解 原式属于幂指函数类未定式中的类型，由推论3.1，令，即，从而易得例4.8 求极限解 由，根据命题3.2知例4.9 求极限解 由，根据推论3.3知例4.10 求极限，其中解 根据推论3.3知，当时：；当时：例4.118 求极限解 根据推论3.3知，（1）当时：；（2）当时：综合（1）、（2）得：例4.12 若1），2），3）（有限或），则证明 令，则，且从某项开始单调递增又（有限或）根据定理得即26 长沙学院毕业论文 结 论微积分学的焦点概念之一便是极限，作为探讨函数最基本的方式极限思想，早在古时候便有比较清楚的阐述我国魏晋时期卓越的数学家刘薇于公元263年创设了“割圆术”，是利用了极限思维在近代数学很多分支中一些关键的概念与理论都是极限和连续函数概念的推论、延拓和强化在数学分析中，极限是全部学习过程的根蒂，极限思想是解决许多问题的依据在很多问题的研究中，常常会涉及到平均值问题，平均值问题主要研究平均值平均值及乘积的极限问题可以说是极限问题研究中的一个热点问题，在极限、不等式的证明与求解过程中，经常会涉及到平均值问题，使其成为解决此类问题的桥梁本文以平均值为基础，系统研究了数和函数的算术平均值、几何平均值、调和平均值的概念及性质；归纳并总结了数的三种平均值的极限存在的充要条件，并对平均值极限存在的充要条件作出了证明本文还对离散型和连续型的平均值间的关系分别进行了推广，得到推广后的一般化的形式，并将其推广形式加以证明；构造了广义幂平均值函