数学建模城市空气质量评估及预测.docx

城市空气质量评估及预测摘 要: 本文对我国十个城市的空气质量进行了深入的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模”和“城考”体系中的环境空气质量指标，就城市空气污染程度，空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。利用层次分析法和Perron-Frobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。运用GM（1,1）灰色预测模型，结合相关数据运用excel软件进行数据统计，对成都市2010年11月份的空气质量状况进行预测。使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。关键词：空气质量，层次分析，判断矩阵，相对权重，排名，灰色预测，优势分析，可吸入颗粒，二氧化硫，二氧化氮一、问题的提出1.1背景介绍随着中国经济的进一步发展，环境问题已是制约我国发展的关键因素之一，而环境问题最突出的就是空气污染。 “十一五”“创模”考核指标“空气污染指数”要求：API指数100的天数超过全年天数85%。“城考”依据API指数100的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。“API指数100的天数”，通常又被称为空气质量达到二级以上的天数。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。本文主要针对以下几个问题进行相关分析：（1）利用已知的数据，建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。（2）建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。（3）收集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。二、基本假设1）表格中已有的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。2） 空气质量相同等级的污染程度相同。3） 假设该市各种影响空气质量的软因素（如工业发展，人口数量）保持平稳变化。4） 不考虑突发事件即人为因素（如工业事故）造成的空气质量突变。5） 假设各种因素对环境的影响最终主要表现在可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮上，不考虑其他随机因素的影响。三、问题的分析31第一问所涉及的问题是一个具有一般性的，又有代表性的排序问题，鉴于每个城市的空气质量状况等级的权重有所不同，我们利用层次分析法对题中所测得城市空气质量状况进行排序，首先建立层次分析结构： 最上层为目标层（O）：各城市空气质量污染程度。 中间层为准则层（P）：空气质量状况等级。共7个等级，依次为最底层为对象层(C)：为排序对象。 由各层次之间的关系，C与P关联，且P与O相关联。3.2第二问涉及对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，故可以运用GM模型对其进行灰色预测，从掌握的历史数据可以看出，每年11月的空气质量级别分布较为相似，全月的平均值较好的反应了相关指标的变化规律，这样我们可以将预测评估分为两个部分：1） 利用灰色理论建立GM（1,1）模型，由2005-2009年11月份空气质量指数的平均值预测2010年的平均值。2） 通过历史数据计算每天指标值与全月总值的关系，从而可以预测出正常情况下2010年11月份每天的指标值，即空气质量指数。3.3第三问是要分析影响空气质量的因素，本文主要考虑计入空气污染指数的三个指标。通过计算可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮的关联度，分析得知哪个因素对空气质量影响较大，哪个因素对空气质量影响较小。四、模型的建立及求解4.1运用层次分析法，将研究目标（O），空气质量状况（P）和对象（C）相应的分为目标层，中间层，最底层。层次关系图如下：优良好轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染城市空气污染严重程度的排名成都杭州北京上海广州拉萨乌鲁木齐郑州武汉西安按照层次分析法的步骤，构造城市排名模型：1） 建立层次结构图（如上图）；2） 构造比较矩阵A，比较7个空气质量状况P对目标层（O）的影响程度，即确定它在O中所占得比重。对任意两个和，用表示和对O的影响程度之比，按19的比例标度来度量,由此可得到两两成对比较矩阵，0 , , =1 比例标度的确定：取19的9个等级，而取的倒数。比例标度值标度 含义 1与的影响相同 3与的影响稍强 5与的影响强 7与的影响明显的强 9与的影响绝对的强 2,4,6,8与的影响之比在上述两个相邻等级之间1/2,.1/9与的影响之比为上面的互反数3)确定相对权重由两两成对比较的判断矩阵。结合Perron-Frobenions定理，得非负矩阵存在正的最大模特征值，对应着正的特征向量。用“和法”求出矩阵的最大特征根和最大特征向。再将所求的特征向量单位化后得到的就是空气质量状况P对目标O相对影响性的权重，记为。 O P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7P1P2P3P4P5P6P7 1 4 5 6 7 8 91/4 1 4 5 6 7 8 1/5 1/4 1 3 4 5 7 1/6 1/5 1/3 1 3 4 6 1/7 1/6 1/4 1/3 1 3 5 1/81/7 1/5 1/4 1/3 1 4 1/ 1/8 1/7 1/6 1/5 1/4 10.40750.24360.13750.09180.06020.03890.0206和法求矩阵的最大特征根和最大特征向a 将A的每一列向量归一化得 , 矩阵如下：0.5011 0.6797 0.4575 0.3810 0.3248 0.2832 0.22500.1253 0.1699 0.3660 0.3175 0.2784 0.2478 0.20000.1002 0.0425 0.0915 0.1905 0.1856 0.1770 0.17500.0835 0.0339 0.0305 0.0635 0.1392 0.1416 0.15000.0716 0.0283 0.0229 0.0212 0.0464 0.1062 0.12500.0626 0.0243 0.0183 0.0159 0.0155 0.0354 0.10000.0557 0.0212 0.0131 0.0106 0.0093 0.0089 0.0250b 对按行求和得：0.40750.24360.1375=0.0918 0.0602 0.03890.0206c 将归一化得，=即为特征向量。d 表示的第个分量。结果如下3.5382 2.1734= 1.13480.71410.44370.2776 0.1530由此得出：一致性检验：（1） 一致性指标：得=0.13（2） 随机一致性指标： 如图表：随机一致性指标n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51(3) 一致性比率，得到A的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量。4）对象层C对准则层P的比重可通过已给出各城市的空气质量状况结合统计学知识列出如下表的比重关系: 全国十大城市空气质量等级比重列表空气质量 等级比重（）城市 优 良好轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重污染 成都175.90736.1671.6613.033.2600 杭州182.12731.7972.856.62006.62 北京132.45678.81149.0129.86.6203.31 上海440.4516.5633.116.62003.31 广州334.44639.0726.490000拉萨697.07289.99.770003.2乌鲁木齐68.4719.87149.8442.356.519.773.26郑州52.98821.1989.429.83.3103.31武汉172.64674.27143.323.26006.51西安46.36817.88115.8916.56003.315）层次总排序，即C层对目标O的总排序。方法是将PC所得出的城市空气状况比重作为列向量构成77矩阵，和由P对目标O的权量构成的71矩阵做乘法，结果即是10个城市的空气污染严重程度的权重向量，那么数值较小的数所对应的城市空气污染程度就比较严重。比重（）城市0.40750.24360.13750.09180.06020.03890.0206目标OP1P2P3P4P5P6P7 成都175.90736.1671.6613.033.2600262.25 杭州182.12731.7972.856.62006.62263.24 北京132.45678.81149.0129.86.6203.31348.61 上海440.4516.5633.116.62003.31310.53 广州334.44639.0726.490000295.60 拉萨697.07289.99.770003.26356.09乌鲁木 齐68.4719.87149.8442.356.519.773.26228.56 郑州52.98821.1989.429.83.3103.31236.93 武汉172.64674.27143.323.26006.51254.74西安46.36817.88115.8916.56003.31235.65通过以上模型的求解，得到10个城市空气质量污染程度的综合排名：（由重到轻）名次12345678910城市乌鲁木齐西安郑州武汉成都杭州广州上海北京拉萨权重228.56235.65236.93257.74262.25263.24295.60310.53348.61356.09那么这个模型的结论从另一个侧面反映了所给的原始数据所代表的实际情况。结论显示乌鲁木齐的空气污染程度在10个城市里最严重，由于乌鲁木齐有大量的石油开采基地有大量污染物体产生，以及连续出现静风天气和乌鲁木齐上空的逆温层阻碍了污染物的扩散，使其越积越多，导致空气污染随之加重。4.2对成都市2010年11月份空气质量指数建立灰色预测模型GM（1,1）以下数据为2005-2009年11月份每天的空气质量指数：年份1234567891020097194899512912915015018819920084851765726436769868220075970889810098987891912006647810997149891001151201002005818179110879399107149129年份111213141516171819202009145365764952545578286200875767144495456837055200776689313010811559785295200612514713083516255786969200598997452594755516358年份212223242526272829302009928090981329914646639820086355627472706710196102200784819684927575107119872006647765373449646955492005668467789310010010012599由已知数据，对2005-2009年十一月份的空气指数记为矩阵A=，计算每年的年平均值，记为:（1）并要求级比.，对作一次累加，则：， （2）记 取的加权平均值则为确定参数，记： （3）于是GM（1,1）的白化微分方程模型为其中是发展灰度，是内生控制灰度。由于取为灰导数，为背景值，则可得出相应的灰微分方程：运用最小二乘法可求： （4）其中为，为；于是方程有响应（特解），则。（5）则由上式可得到2010年11月份空气指数的平均值，则预测2010年11月份的空气指数总值为，根据历年数据，则可以统计出2010年11月份每天的空气指数占整月总值的比例，即： （6）则于是可得2010年11月每天的空气指数值为。模型求解：由数据表，结合（1），（2）两式计算可得月平均值，一次累加值分别为：注：由于空气指数均为整数，故求均值时进位取整。显然的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里参数合适，则由（3）可得：则所得对应灰微分方程为：运用最小二乘法公式（4）可求得：由式（5）可得2010年11月份空气质量指数平均值为，则月总指数值：，由式（6）得到每天的比例为： ；故2010年11月1-30天的空气质量指数预测值为：列为下表：2010年11月（天）123456789101112131415空气质量指数5361727580748485104998570706159161718192021222324252627282930空气质量指数494457555960626261696474697571模型检测：通过上述所建模型我们对2005-2009年10月空气质量指数进行预测，将预测值与实际统计值进行比较，如下表所示：号数12345678910111213141516实际值423767858962697211663444463737883预测值60347369677765619067545677858897号数 171819202122232425262728293031实际值 95100829911397888753353645558171预测值 988868828981829267564564787775并由此数据表格作出相应曲线：从上图可以较为直观地看出，通过所建模型计算预测出所得的预测值在较大程度上与实际值吻合，故所建模型是正确可行的。4.3建立空气质量影响因素模型：灰色系统理论中的关联分析法是一种因素比较分析法，是以数据间差值大小作为关联程度的衡量尺度，通过求解关联度来确定各指标对目标值的影响度。(1) 绝对关联度：设序列与长度相同，则称(2)(3) 为与的绝对灰色关联度，简称绝对关联度。(4) 其中，。(2)相对关联度：设序列与长度相同，且初值皆不等于零，与分别为，的初值像，则称与的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记为。其中(3)综合关联度：设序列与长度相同，且初值皆不等于零，和分别为与的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，则称为与的灰色综合关联度，简称综合关联度。综合关联度较为全面地表征序列之间联系是否紧密的一个数量指标。以下是2003-2006年成都市空气质量指标的数据：（数据来源：国家统计局） 年份数量2003200420052006X0(空气二级以上天数占全年比重)85.4884.66 80.27 82.47X1（PM10） 0.118 0.115 0.125 0.123X2（SO2） 0.052 0.067 0.077 0.065X3（NO2） 0.046 0.048 0.052 0.049模型求解：绝对关联度：令 =；0,1,2,3则=(0,-0.82,-5.21,-3.01)=(0,-0,003,0.007,0.005)=(0,0.015,0.025,0.013)=(0,0.002,0.006,0.003)=；0,1,2,3=7.535 =0.0065 =0.0465 =0.0095=；1,2,3=7.5415 =7.5815 =7.5445；0,1,2,3=0.531089 =0.530935 =0.531077相对关联度：由；0,1,2,3得=(1,0.990407,0.939050,0.964787)=(1,0.974576,1.059322,1.042373)=(1,1.288462,1.480769,1.250000)=(1,1.043478,1.130435,1.065217)的始点零化像为： =；0,1,2,3从而=（0，-0.009593，-0.060950，-0.035213）=（0，-0.025424，0.059322,0.042373）=（0,0.288462,0.480769,0.250000）=（0,0.043478,0.130435,0.065217）=；0,1,2,3=0.0529365 =0.0127115 =0.644231 =0.1413045=；1,2,3=0.065648 =0.6971675 =0.194241 ；0,1,2,3=0.941971 =0.708826 =0.860105综合关联度：取=0.5；0,1,2,3=0.736530 =0.695591 =0.6198805结果分析：由得为最优因素，次之，最劣。也就是说，可吸入颗粒对空气质量的影响最大，二氧化硫对空气质量的影响仅次于可吸入颗粒，二氧化氮较之二者对空气质量的影响最小。六、模型的评价与推广6.1模型一对十大城市空气质量状况采用层次分析方法解决问题的基本思想与人们对一个对多层次，多因素复杂的决策问题的思维过程基