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文档简介

6 方阵的若当标准形一、 不变子空间设L为一个实（或复）线性空间V的一个线性变换，S为V的一个子空间，若，则称S为关于L的一个不变子空间. 设是n维线性空间V的一个线性变换L的不变子空间，V可以用它们的直和：来表示的充分必要条件是：在某基底下线性变换L对应的矩阵A可化为分块对角矩阵式中的阶数分别等于的维数. 二、方阵的标准化若当块与若当标准方阵 形为的m阶方阵称为若当块，式中是一特征值. 一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块，而其余的子阵都是零矩阵，即 （1）则称其为若当标准方阵或若当标准形. 注意，不同块里的这些未必两两不同. 方阵的标准化1o特征值都不同的情形 若一个方阵A的特征值都不相等，则A可以化为对角矩阵，它的主对角线上的元素就是这些特征值： 2o特征值有相等的情形 任意方阵A都可以化为与它相似的若当标准形（1），其中是它的特征值，是特征值的重数. 如不计若当块的次序，则A的标准形是唯一的. 当且仅当一切若当块的阶都等于1时，可化为对角矩阵. 这就是1o的情形. 以上说明，假定A是一个方阵，那末总可找到一个非奇异的方阵T，使得方阵与A相似. 三、方阵标准化的方法与步骤矩阵 假定一个n阶方阵A的元素都是变数的复系数多项式 则称为矩阵. 一个矩阵的不恒等于零的子式的最高阶数r称为的秩. 不变因子与初等因子 设r为的秩，k是正整数，为的一切k阶子式的最高公因式，则是一个的多项式，规定的最高次项系数是1；此外规定 称 为的不变因子. 把每个分解为一次因子，得到 式中指数有的可能是零，当时，称为的一个初等因子. 初等变换矩阵的等价 对矩阵的下列三种变换的有限次组合称为的初等变换. （i）任何两行（列）互换；（ii）把任何一行（列）的各元素乘上同一个的多项式后加到另一行（列）的相应的元素上；（iii）把任何一行（列）的元素乘上同一个不等于零的复数. 应当指出，适当地施行（ii），（iii）两种变换可以得到（i）. 若可由经过有限次初等变换得到，则称与等价，记作. 矩阵经过初等变换后，其不变因子和初等因子都不变. 矩阵的标准形 设矩阵的秩为r，不变因子为，则 称右边的方阵为的标准形. 它是由唯一确定的. 等价的矩阵具有相同的标准形. 特征矩阵 方阵A的特征矩阵是一个特殊的矩阵. 所以1o若的初等因子为 其中各未必两两不同，则 且有 2o如果n阶矩阵 其中，则式中J为A的若当标准形. 3o若A的特征矩阵的初等因子为 则 J为A的若当标准形. 方阵标准化的步骤 把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下： (1) 利用初等变换把化为对角矩阵，分解对角线上的多项式，就得到的全部初等因子. (2) 相应于每个初等因子，作出一个m阶的若当块 (3) 把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形. 例1 求方阵 的若当标准形. 解 容易求出它的不变因子为1，1，所以初等因子是，因此得到A的若当标准形 例2
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