【全程复习方略】（福建专用）高考数学 分类题库考点44 导数的应用（）理 人教版(1).doc

考点44 导数的应用一、选择题1.(2011重庆高考文科t3)曲线在点处的切线方程为( )(a) (b) (c) (d) 【思路点拨】先求出切线的斜率,然后利用点斜式求直线的方程.【精讲精析】选a.由 知,切线斜率为，切线方程为,即.2.(2011重庆高考文科t7)若函数在处取最小值,则( )(a) (b) (c) (d)【思路点拨】先求函数的导数,再根据最值的定义求出的值.【精讲精析】选c.,因为函数在处有最小值,则一定有解得,因为,所以.3.（2011全国高考理科8）曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )(a) (b) (c) (d)1【思路点拨】利用导数求出在点（0，2）处的切线方程，然后分别求出与直线y=0和y=x的交点,问题即可解决.【精讲精析】选a.，切线方程是：,在直角坐标系中作出示意图，即得.4.（2011湖北高考理科t10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量m（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中m0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克年），则m（60）=（ ）(a)5太贝克 (b)75ln2太贝克(c)150ln2太贝克 (d)150太贝克【思路点拨】铯137含量的变化率即为的导函数，由t=30时,=-10ln2，可求出m0.【精讲精析】选d. ，当t=30时，即当t=60时，二、解答题5.（2011湖北高考理科t21）（）已知函数，求函数的最大值；（）设，均为正数，证明：（1）若+，则；（2）若+=1，则 + + .【思路点拨】（）令得，再判断1两侧的符号，可知是的极大值，也是最大值.(ii)(1) 即，即，由中的结论知即，为出现式，可令，得，故将上述各式相加，再结合已知可得所求.令，则所要证明的式子可化为： 及 又+=1，故，故式可化为：，可令，利用结论(1)可证；式可化为：，可令，利用结论(1)可证.【精讲精析】（）的定义域为.令解得当时，在内是增函数；当时，在内是减函数；故函数在处取得最大值()由（）知，当时，有，即从而有得.求和得即，先证令，则于是由得，即.再证 + + .记，令，则于是由得，即， + + .综合，得证.6.（2011湖北高考文科20） 设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线l.(i) 求a、b的值，并写出切线l的方程；(ii)若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【思路点拨】()根据构造含有的方程组求解；()先由是方程的两相异实根，由0得的范围，再由时成立，可得.从而由韦达定理可知，且，据此可进一步求的范围.【精讲精析】()由于曲线与在点处有相同的切线，故有，由此得解得所以切线的方程为()由()得所以依题意，方程有三个互不相同的实根、，故、是方程的两相异的实根，所以即又因为对任意的，成立，特别地，取时，成立，得由韦达定理，可得故对任意的，有则又所以函数在的最大值为0.于是当时，对任意的，恒成立.综上，的取值范围是.7.（2011全国高考理科22）（1）设函数，证明：当时，.（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：.【思路点拨】本题第（1）问是利用导数研究函数单调性最值的常规题，不难证明.第(2)问证明如何利用第（1）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现.【精讲精析】(1)所以在上单调递增.当时，.（2）方法一：由(1)，当x0时，,即有故于是,即.利用推广的均值不等式：方法二：，所以是上凸函数，于是因此，故综上：.8.（2011全国高考文科21）已知函数()证明：曲线在处的切线过点(2,2). （）若在处取得最小值，,求a的取值范围.【思路点拨】第(i)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直线方程.第（ii）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.【精讲精析】（i）.由得曲线在x=0处的切线方程为，由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）.（ii）由得，=4a2-4(1-2a) =4(a2+2a-1)(i)当0,即或时，由得，故.由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是.9.（2011四川高考文科22）已知函数（）设函数，求的单调区间与极值；（）设,解关于的方程（）设 证明：【思路点拨】（）函数问题定义域优先，由求出极值点，利用极值点两侧导数值异号判断函数的单调性.（）首先利用对数的运算性质化简方程，最后转化为 即转化为的图象与的图象交点个数,结合图象求解.（）构造一个新的数列，转化为数列求和问题. 设数列的前项和为，且当时，证明【精讲精析】（）令得当时，；当时，. 在上为增函数，在上为减函数.在处取极大值，（）； 原方程可化为 如图所示：()由已知得 设数列的前项和为，且 从而有当时，.即对任意的，有又 则故原不等式成立.10.(2011重庆高考理科t18) 设的导数满足，其中常数.()求曲线在点处的切线方程; () 设，求函数的极值.【思路点拨】根据导数的定义可求出实数的值,从而求出函数的解析式,再求出曲线在处的切线方程.把函数的导数代入(),再对函数求导,即可求出极值.【精讲精析】()因,故令,得,所以 又令,得,解得.因此,从而,又故曲线在点处的切线方程为,即()由()知,从而有令,得,解得当时, ,故在上为减函数;当时, ,故在上为增函数;当时, ,故在上为减函数;从而函数在处取得极小值,在处取得极大值.11.(2011重庆高考文科t19)设的导数为,若函数的图象关于直线对称,且.()求实数的值;()求函数的极值.【思路点拨】根据二次函数的图像性质及题中可直接求出的值,然后根