浙江省嘉兴市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年浙江省嘉兴市高 考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1在abc中，sinasinb是ab的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件2一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（） a b c d 3计算：（log43+log83）（log32+log92）=（） a b c 5 d 154已知a0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（） a 2 b 1 c d 5若sin+cos=，0，则tan=（） a b c 2 d 26已知圆x2+y24x5=0的弦ab的中点为q（3，1），直线ab交x轴于点p，则|pa|pb|=（） a 4 b 5 c 6 d 87设f1、f2分别为双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点，a为双曲线的左顶点，以f1f2为直径的圆交双曲线某条渐过线于m，n两点，且满足man=120，则该双曲线的离心率为（） a b c d 8设f（x）=，其中ar，若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为（） a r b 4，0 c 9，33 d 33，9二、填空题（9-12题每小题6分，13-15题每小题6分，共36分）9已知全集u=r，集合a=x|1x1，b=x|x22x0，则ab=，a（ub）=10在等差数列an中，a1=3，a1+a3=14，则公差d=，an=11若向量与满足|=，|=2，（），则向量与的夹角等于，|+|=12已知函数f（x）=，则f（2）=，若f（a）=1，则a=13已知实数x，y0且xy=2，则的最小值是14抛物线y2=4x的焦点为f，过点（0，3）的直线与抛物线交于a，b两点，线段ab的垂直平分线交x轴于点d，若|af|+|bf|=6，则点d的横坐标为15正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，底面abcd的对角线bd在平面内，则正方体在平面内的影射构成的图形面积的取值范围是三、解答题16三角形abc中，已知sin2a+sin2b+sinasinb=sin2c，其中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c（）求角c的大小；（）求的取值范围17如图，在三棱锥pabc中，pa平面abc，2ac=pc=2，acbc，d，e，f分别为ac，ab，ap的中点，m，n分别为线段pc，pb上的动点，且有mnbc，（）求证：mn平面pac（）探究：是否存在这样的动点m，使得二面角emnf为直二面角？若存在，求cm的长度，若不存在，说明理由18已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，过点p（0，1）的动直线l与椭圆交于a，b两点，当lx轴时，|ab|=（）求椭圆的方程（）当|ap|=2|pb|，求直线l的方程19如图，在平面直角坐标系xoy中，设a1=2，有一组圆心在x轴正半轴上的圆an（n=1，2，）与x轴的交点分别为a0（1，0）和an+1（an+1，0），过圆心an作垂直于x轴的直线ln，在第一象限与圆an交于点bn（an，bn）（）试求数列an的通项公式（）设曲边形an+1bnbn+1（阴影所示）的面积为sn，若对任意nn*，+m恒成立，试求实数m的取值范围20已知函数f（x）=x+4，g（x）=kx+3（）当a3，4时，函数f（x）在区间1，m上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围（）当a1，2时，若不等式|f（x1）|f（x2）|g（x1）g（x2），对任意x1，x22，4（x1x2）恒成立，求实数k的取值范围2015年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1在abc中，sinasinb是ab的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题分析： 由正弦定理知 ，由sinasinb，知ab，所以ab，反之亦然，故可得结论解答： 解：若sinasinb成立，由正弦定理 =2r，所以ab，所以ab反之，若ab成立，所以ab，因为a=2rsina，b=2rsinb，所以sinasinb，所以sinasinb是ab的充要条件故选c点评： 本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形属于基础题2一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（） a b c d 考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案解答： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积s=，高h=1，故半圆锥的体积v=，故选：d点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状3计算：（log43+log83）（log32+log92）=（） a b c 5 d 15考点： 对数的运算性质专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 化简（log43+log83）（log32+log92）=（log23+log23）（log32+log32），且log23log32=1，从而解得解答： 解：（log43+log83）（log32+log92）=（log23+log23）（log32+log32）=log23log32=；故选：a点评： 本题考查了对数的化简与运算，属于基础题4已知a0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（） a 2 b 1 c d 考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可解答： 解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点c时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小即2x+y=1，由，解得，即c（1，1），点c也在直线y=a（x3）上，1=2a，解得a=故选：c点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法5若sin+cos=，0，则tan=（） a b c 2 d 2考点： 同角三角函数基本关系的运用专题： 三角函数的求值分析： 由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tan的值解答： 解：sin+cos=，0，sin2+cos2=1，sin=，cos=，tan=2，故选：c点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题6已知圆x2+y24x5=0的弦ab的中点为q（3，1），直线ab交x轴于点p，则|pa|pb|=（） a 4 b 5 c 6 d 8考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 求出圆的圆心与半径，求出ab的方程，然后求出p的坐标，利用相交弦定理求解即可解答： 解：圆x2+y24x5=0的圆心（2，0），半径为3，弦ab的中点为q（3，1），则ab的斜率为：1，ab的方程为：y1=（x3），即x+y4=0，则p（4，0），如图：由相交弦定理可知：|pa|pb|=|pc|pd|=（32）（3+2）=5故选：b点评： 本题考查直线与圆的位置关系的应用，相交弦定理的应用，考查计算能力7设f1、f2分别为双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点，a为双曲线的左顶点，以f1f2为直径的圆交双曲线某条渐过线于m，n两点，且满足man=120，则该双曲线的离心率为（） a b c d 考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先求出m，n的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率解答： 解：不妨设圆与y=x相交且点m的坐标为（x0，y0）（x00），则n点的坐标为（x0，y0），联立y0=x0，得m（a，b），n（a，b），又a（a，0）且man=120，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b22bcos 120，化简得7a2=3c2，求得e=故选a点评： 本题主要考查双曲线的离心率解决本题的关键在于求出a，c的关系8设f（x）=，其中ar，若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为（） a r b 4，0 c 9，33 d 33，9考点： 分段函数的应用专题： 函数的性质及应用分析： 由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2x1），使得f（x2）=f（x1）成立，可得函数必须为连续函数，即在x=0时，两段的函数值相等，且函数在y轴两次必须是单调的，进而可得答案解答： 解：由于函数f（x）=，其中ar，则x=0时，f（x）=a2k，又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2x1），使得f（x2）=f（x1）成立函数必须为连续函数，即在x=0时，两段的函数值相等，（3a）2=a2k，即6a+9+k=0，即k=6a9，且函数在y轴两次必须是单调的，二次函数的对称轴x=0，解得：4a0，336a99，k33，9，故选：d点评： 本题考查了存在性问题，分段函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，不等式的基本性质，是函数与不等式的综合应用，难度中档二、填空题（9-12题每小题6分，13-15题每小题6分，共36分）9已知全集u=r，集合a=x|1x1，b=x|x22x0，则ab=1，0，a（ub）=1.2）考点： 交、并、补集的混合运算；补集及其运算专题： 集合分析： 求出集合b中不等式的解集，求出a与b的交集，再求出集合b的补集，即可求出所求解答： 解：集u=r，集合a=x|1x1=1，1，b=x|x22x0=（，02，+）ub=（0，2），ab=1，0，a（ub）=1.2）故答案为：1，0，），1.2）点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键10在等差数列an中，a1=3，a1+a3=14，则公差d=4，an=4n1考点： 等差数列的性质专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： 设数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式代入a1+a3=14，列出有关d和a1的方程，由此解得d的值，可得an解答： 解：设数列an的公差为d，由a1+a3=14，可得2a1+2d=14，即a1+d=7，把a1=3代入，解得d=4，所以an=3+4（n1）=4n1故答案为：4；4n1点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题11若向量与满足|=，|=2，（），则向量与的夹角等于，|+|=考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据条件得出=2，运用数量积的定义式得出cos，=即可求出夹角，根据向量的模与乘法的转化|+|2=（）2=|2+|2+2，即可求解向量的模解答： 解：|=，|=2，（），（）=0，即=2，cos，=，即向量与的夹角为，|+|2=（）2=|2+|2+2=2+4+4=10|+|=，故答案为：；点评： 本题综合考查了平面向量的性质，运算，求解夹角，模，属于基本题目，难度不大，计算仔细些，书写规范即可12已知函数f（x）=，则f（2）=3，若f（a）=1，则a=1考点： 函数的零点；函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 利用函数的解析式直接求解函数值即可解答： 解：函数f（x）=，则f（2）=221=3a0时，2a1=1，解得a=1a0时，a2+2a=1，解得a=1，舍去故答案为：3；1点评： 本题考查函数值的求法，函数的零点的求法，基本知识的考查13已知实数x，y0且xy=2，则的最小值是1考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 设x+2y=t，由实数x，y0且xy=2，可得=4，当且仅当x=y=则=t=f（t），利用函数的单调性即可得出解答： 解：设x+2y=t，实数x，y0且xy=2，=4，当且仅当x=2y=2则=t=f（t）4=1，的最小值是1故答案为：1点评： 本题考查了“换元法”、乘法公式、函数的单调性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题14抛物线y2=4x的焦点为f，过点（0，3）的直线与抛物线交于a，b两点，线段ab的垂直平分线交x轴于点d，若|af|+|bf|=6，则点d的横坐标为4考点： 抛物线的简单性质专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设ab的中点为h，求出准线方程，设a，b，h在准线上的射影分别为a，b，h，运用抛物线的定义可得h的横坐标为2，设出直线ab的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得k的范围，由中点坐标公式解得k=2，再求直线ab的中垂线方程，令y=0，即可得到所求值解答： 解：设ab的中点为h，抛物线y2=4x的焦点为f（1，0），准线为x=1，设a，b，h在准线上的射影分别为a，b，h，则|hh|=（|aa|+|bb|），由抛物线的定义可得，|af|=|aa|，|bf|=|bb|，|af|+|bf|=6，即为|aa|+|bb|=6，|hh|=6=3，即有h的横坐标为2，设直线ab：y=kx+3，代入抛物线方程，可得k2x2+（6k4）x+9=0，即有判别式（6k4）236k20，解得k且k0，又x1+x2=4，解得k=2或（舍去），则直线ab：y=2x+3，ab的中点为（2，1），ab的中垂线方程为y+1=（x2），令y=0，解得x=4，则d（4，0）故答案为：4点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查两直线垂直的条件和中点坐标公式的运用，属于中档题15正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，底面abcd的对角线bd在平面内，则正方体在平面内的影射构成的图形面积的取值范围是考点： 二面角的平面角及求法专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： 设矩形bdd1b1与所成锐二面角为，面积记为s1，推出正方形a1b1c1d1与所成锐二面角为面积记为s2，求出阴影部分的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数求解最值即可解答： 解：设矩形bdd1b1与所成锐二面角为，面积记为s1，则正方形a1b1c1d1与所成锐二面角为面积记为s2，所求阴影部分的面积s=s1cos+s2sin=cos+sin=sin（+）其中sin=，cos=故s故答案为：点评： 本题考查二面角的应用，空间想象能力以及转化思想的应用，难度比较大三、解答题16三角形abc中，已知sin2a+sin2b+sinasinb=sin2c，其中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c（）求角c的大小；（）求的取值范围考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： （）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosc，将得出关系式代入求出cosc的值，确定出c的度数；（）由（）及正弦定理化简可得：=，结合a的范围，可得sin（a）1，即可得解解答： 解：（）由sin2a+sin2b+sinasinb=sin2c，利用正弦定理化简得：a2+b2c2=ab，cosc=，即c=（）由（）可得：b=，由正弦定理可得：=，0，a，sin（a）1，从而解得：（1，）点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查17如图，在三棱锥pabc中，pa平面abc，2ac=pc=2，acbc，d，e，f分别为ac，ab，ap的中点，m，n分别为线段pc，pb上的动点，且有mnbc，（）求证：mn平面pac（）探究：是否存在这样的动点m，使得二面角emnf为直二面角？若存在，求cm的长度，若不存在，说明理由考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角；推理和证明分析： （）证明：bc平面pac，利用mnbc，即可证明mn平面pac；（）由（）mn平面pac，dmf是二面角emnf的平面角，由题意，dmf=90，可得m是pc的中点，即可求cm的长度解答： （）证明：pa平面abc，bc平面abc，pabc，acbc，paac=a，bc平面pac，mnbc，mn平面pac（）解：由（）mn平面pac，mnmf，mnmd，dmf是二面角emnf的平面角，由题意，dmf=90，m是pc的中点，cm=pc=1点评： 本题考查线面垂直的判定，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，过点p（0，1）的动直线l与椭圆交于a，b两点，当lx轴时，|ab|=（）求椭圆的方程（）当|ap|=2|pb|，求直线l的方程考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）求得y=1与椭圆的交点，代入椭圆方程，结合离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（）当直线l的方程为x=0时，|ap|=2|pb|显然不成立可设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得k，即可得到所求直线方程解答： 解：（）由题意，y=1时，x=，代入椭圆方程可得，椭圆+=1（ab0）的离心率为，e2=，a2=4，b2=3，即有椭圆方程为+=1；（）当直线l的方程为x=0时，|ap|=2|pb|显然不成立可设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程3x2+4y212=0，可得（3+4k2）x2+8kx8=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，又|ap|=2|pb|，即=2，即有x1=2x2，由可得，=，解得k=则直线l：y=x+1点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的运用和方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，化简整理，属于中档题19如图，在平面直角坐标系xoy中，设a1=2，有一组圆心在x轴正半轴上的圆an（n=1，2，）与x轴的交点分别为a0（1，0）和an+1（an+1，0），过圆心an作垂直于x轴的直线ln，在第一象限与圆an交于点bn（an，bn）（）试求数列an的通项公式（）设曲边形an+1bnbn+1（阴影所示）的面积为sn，若对任意nn*，+m恒成立，试求实数m的取值范围考点： 数列的应用；数列的求和专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： （）由条件可得an+11=2（an1），所以数列an1是等比数列，从而；（）由（）可得各点坐标为bn（2n1+