指数与指数幂的运算.doc

杭州长成教育 专业初中、高中辅导2.1.1指数与指数幂的运算指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习的第一个基本初等函数为了学习指数函数，应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习根式、及在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质 本节，主要是指数幂的运算.我们应该学好哪些知识点呢？ 1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中1，且*当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的次方根用符号表示当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（0）由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）释义：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作；当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作；负数没有偶次方根；0的任何次方根为0即；当a0时，0，表示算术根；当n为任意正整数时，()=a. 即实数a的n次方根的n次幂是它本身. 当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.即n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.根式的基本性质：，（a0）即若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.示例：()=27；()=-32； =-8 ；=|-10| = 10 ；= | = ；= |a- b| = a- b ；2分数指数幂：正数的分数指数幂的意义：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则3有理指数幂的运算性质：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂（1）；（2）；（3）示例：求值：.解：用分数指数幂的形式表示下列各式： (式中a0) 解：4.无理指数幂：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂以上是本节应该掌握和理解的重要的知识点，那么除了教材上的例题题型，我们还需要熟悉什么题型？大家可以通过学习课外参考资料扩充.在这里，给出几个例题以加深对根式、分指数幂及其运算的进一步理解和运用.例1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1) （） （） （） （） （6）解：（）(2) (3) （）（）（）例2.计算下列各式（式中字母都是正数）： ； .解：原式=2(-6)(-3)；原式=点评：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.例3.计算下列各式： ； (a0).解：原式=；原式=.点评：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.例4.化简：.解：点评：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决例5. 已知x+x-1=3,求下列各式的值：分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；（2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开解：点评：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意（2）题解注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷.还有另一解法，可以注重与已知条件的联系，体现对立方和公式、平方和公式的灵活运用，请读者自己动手完成在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证：“若a0， p是一个无理数，则表示一个确定的实数”，为选修课学习导数时做准备 l If you should put even a little on