Matlab优化工具箱1.ppt

标量最优问题的一般描述目标函数 约束条件a1 a a2其中 a1 a a2为标量 为一个返回标量值的函数 在优化工具箱中 fmin函数用于解标量最优问题 而且该函数允许设置变量的上下解约束 2 fmin函数标量最优求解 求解格式为 2 fmin函数标量最优求解 说明 a fmin fun a1 a2 求函数的局部最优解 目标函数定义在名为fun m的M文件中 且其解必须满足al a a2 a fmin fun a1 a2 options 设置可选参数的值而不是采用缺省值 可选参数在options向量中设置 2 fmin函数标量最优求解 options l 控制显示 设置为1将给出中间结果的列表显示 options 2 控制x的精度 options 14 控制函数的计算次数 2 fmin函数标量最优求解 options为参数控制向量 在options的18个元素中 fmin函数使用的输入参数包括1 2 14 其中 举例 求下述标量函数在 0 5 区域内的最小值 目标函数 第一步 编写M函数 2 fmin函数标量最优求解 第二步 求解 算法 该函数采用黄金分割和抛物线搜索算法 注意 1 该函数可能给出局部最优解 2 目标函数和约束条件必须为实型的 3 当解位于区域边界上时 该函数将具有较慢的收敛速度 此时采用constr函数将给出更快和更精确的解 2 fmin函数标量最优求解 无约束非线性问题的一般描述目标函数 无约束非线性规划有许多种算法 按照是否使用函数的导数信息来选择搜索方向 可将各种搜索算法分为2类 直接搜索类方法仅仅利用目标函数的函数值来确定搜索方向 这类方法对于目标函数不连续的情况非常适合 梯度类方法在目标函数具有一阶导数时非常有效 而高阶类方法仅仅适用于目标函数的二阶导数可以计算的情况 其中 x x1 x2 xn 为向量 f x 为返回一标量值的目标函数 3 非线性规划 fminu fmins函数在优化工具箱中 fminu fmins函数用于解非线性规划问题 可以选择使用 BFGS公式来逼近Hessian矩阵的拟牛顿 quasi Newton 方法 或者采用DFP公式来逼近Hessian矩阵的拟牛顿 quasi Newton 方法 或者采用最速下降法 3 非线性规划 fminu fmins功能 求解无约束非线性最优化问题 格式 3 非线性规划 说明 x fminu fun x0 求函数fun的最小值 fun函数定义在M文件fun m中 并置初始解向量为x0 x fminu fun x0 options 设置可选参数的值而不是采用缺省值 可选参数在options向量中设置 fun为包含目标函数的函数名字符串 3 非线性规划 options为参数控制向量 options l 控制显示 设置为1将给出中间结果的列表显示 options 2 控制x的精度 options 3 控制目标函数f的精度 当options 2 options 3 参数全部满足后 算法将结束 对options 6 的讨论见后面算法部分 3 非线性规划 举例 求无约束非线性问题 第一步 编写M文件 3 非线性规划 初始解向量为 x l 21 第二步 求解 打开一个文本文件 写入求解命令 然后将其复制到命令窗口中运行即可 3 非线性规划 算法 对fminu函数优化算法的控制通过option 6 参数实现 缺省地option 6 0 此时使用拟牛顿 quasi Newton 方法 这种方法采用BFGS公式来逼近Hessian矩阵 如果设置option 6 l 则采用DFP公式来逼近地Hessian矩阵 如果设置option 6 2 则采用最速下降法 fmins函数使用一种单纯型搜索算法 这是一种直接法而不是像fminu函数那样使用解析法 3 非线性规划 注意 1 对于fminu函数 目标函数必须连续 fmins函数常用来处理不连续的情况 这两个函数有可能给出局部最优解 2 对于目标函数中存在平方和的情况 不应该使用fminu和fmins函数 而应该使用leastsq函数 如果目标函数大于2阶 则一般地fmins函数不如fminu函数 但对于非常不连续的函数 则fmins函数不如fminu函数更具鲁棒性 3 非线性规划 1约束规划概述约束非线性规划的一般描述目标函数 约束条件 4 有约束规划 g x 0 其中 为向量 为函数向量 f x 为标量函数 g x 和f x 均可为非线性函数 g x 既可以为等式约束也可以为不等式约束 对于约束非线性规划问题 已经建立了大量的计算方法 如可行方向法 梯度投影法 罚函数法 线性近似法等 但这些算法均仅仅能解决一类特殊的非线性规划问题 4 有约束规划 在理论上 Kuhn Tucher条件则具有很重要的意义 对于一个不等式约束gi x 0 如果gi x 0 则称该约束在点x 处为起作用约束 设x 为问题的一个可行解 如果约束的梯度向量 gi x 线性无关 x 为局部最优解 则必然存在不全为0的数ui i l m 使得以下Kuhn Tucker条件成立 4 有约束规划 如果f x 和gi x i l m 均为凸函数 并且可导 x 满足Kuhn Tucher条件 则x 为全局最优解 4 有约束规划 constr函数多变量且非线性约束最优问题的一般描述目标函数 约束条件G x 0其中 x为向量 G x 为函数向量 f x 为标量函数 f x 和G x 均可为非线性函数 G x 既可以为等式约束也可以为不等式约束 在优化工具箱中 constr函数用于求解一般约束最优问题 该函数使用SQP算法 4 有约束规划 constr函数功能 多变量非线性约束最优问题求解 格式 4 有约束规划 说明 x constr fun x0 求解非线性约束最优化问题 目标函数和约束条件定义在M文件中 文件名为fun m 初始解向量为x0 x constr fun x0 options 设置可选参数的值而不是采用缺省值 可选参数在options向量中设置 x constr fun x0 options vlb vub 设置解向量的上下界 即解向量必须满足vlb x vub 4 有约束规划 其中x0为初始解向量 fun为包含目标函数和约束条件的函数名字符串 vlb vub为上下界约束 vlb为下界约束 vub为上界约束 一般地 vlb和vub具有和x同样的大小 如果vlb由n个元素且比x的元素少 则只有x的前n个元素具有下界约束 vub变量也遵守同样的原则 4 有约束规划 options为参数控制向量 在Ophons的18个元素中 constr函数使用的输入参数包括1 2 3 4 9 13 14 16 17 constr函数使用的输出参数包括8 10 11 18 其中options l 控制显示 设置为1将给出中间结果的列表显示 options 2 控制x的精度 options 3 控制目标函数f的精度 options 4 控制对约束的越限程度 当options 2 options 3 options 4 参数全部满足后 算法将结束 4 有约束规划 举例 求解如下非线性约束最优问题 目标函数 f x x1x2x3约束条件 x1 2x2 2x3 0 x1 2x2 2x3 72初始解向量 x 10 10 10 第一步 编写M文件 4 有约束规划 第二步 求解 经过49次运算后 结果为 4 有约束规划 极值点处的函数值和约束条件的值为 注意 1 该函数可能给出局部最优解 2 如果问题无可行解 将给出一个对约束的破坏影响最小的解 3 目标函数和约束条件必须为实型的 4 当存在一致的相关等式约束时 算法将对等式约束去偶 并显示 dependent 如果存在不一致的等式约束 则算法无可行解 并显示 infeasfible 4 有约束规划 4 机床主轴结构优化设计 如图所示是一个简化的机床主轴 主轴内径为d 外径为D 跨距为l 外伸端长度为a 主轴的弹性模量 已知d 35mm 外力F 18000N 许用挠度y0 0 05mm lmin 350mm Dmin 70mm amin 100mm 求在满足刚度条件下 使主轴自重最轻 收敛精度 4 机床主轴结构优化设计 解 1 选取优化设计变量当主轴的材料选定时 其设计方案由四个设计变量决定 即孔径d 外径D 跨矩l及外伸端长度a 由于机床主轴内孔由机床型号决定 不能作为设计变量 故设计变量取为 2 构造优化目标函数机床主轴优化设计的目标函数为 4 机床主轴结构优化设计 式中为材料的密度 主轴材料为钢材 取 3 确定约束条件主轴的刚度是一个重要性能指标 其外伸端的挠度y不得超过规定值y0 据此建立性能约束 在外力F给定的情况下 y是设计变量x的函数 其值按下式计算 4 机床主轴结构优化设计 式中 E是材料的弹性模量 则有 由于机床主轴对刚度要求比较高 当满足刚度要求时 强度尚有相当富裕 因此应力约束条件可不考虑 边界约束条件为设计变量的取值范围 即 4 机床主轴结构优化设计 4 建立优化数学模型将所有约束函数规格化 主轴优化设计的数学模型可表示为 4 机床主轴结构优化设计 5 编写M文件 机床主轴结构优化 M K S单位制 function f g fun x f 1 4 pi 7 8 10 3 x 1 x 3 x 2 2 0 035 2 g 1 64 18e3 x 3 2 x 1 x 3 3 2 1e11 pi x 2 4 0 035 4 0 5e 4g 2 0 35 x 1 g 3 0 07 x 2 g 4 0 10 x 3 4 机床主轴结构优化设计 6 在Matlab命令窗口调用优化函数求解x0 0 48 0 10 0 12 options foptionsoptions 1 1 显示中间结果options 2 1e 5 设置x终止条件option