第75讲双曲线.ppt

新课标高中一轮总复习 第十一单元直线与圆 圆锥曲线与方程 第75讲 双曲线 了解双曲线定义 几何图形和标准方程 知道双曲线的几何性质及参数 a b c e 的求法 能利用定义和几何性质解决与双曲线相关的简单综合问题 1 双曲线 1的实轴长是 焦点坐标是 8 0 5 2 方程 1表示双曲线 则实数k的取值范围是 1 1 由题设及双曲线标准方程的特征可得 1 k 1 k 1 3 已知双曲线 1右支上一点P到左焦点F1的距离为12 则点P到右焦点F2的距离为 右支上满足上述条件的点P有个 2 1 由双曲线定义可得 PF1 PF2 2a 10 所以 PF2 12 10 2 又焦点坐标F1 7 0 F2 7 0 顶点坐标为 5 0 所以满足条件的点只有一个 即为右顶点 4 若双曲线 1的两条渐近线互相垂直 则双曲线的离心率 e 由已知 两渐近线方程为y x 由两渐近线互相垂直得 1 即a b 从而e 5 若双曲线C的焦点和椭圆 1的焦点相同 且过点 3 2 则双曲线C的方程是 1 由已知半焦距c2 25 5 20 且焦点在x轴上 设双曲线C的方程为 1 a2 b2 20a2 12 1b2 8 故所求双曲线的方程为 1 则 求得 1 双曲线的定义平面内到两定点F1 F2的距离之差的绝对值为常数2a 且 的点的轨迹叫双曲线 有 MF1 MF2 2a 在定义中 当 时表示两条射线 当 时 不表示任何图形 0 2a F1F2 2a F1F2 2a F1F2 2 双曲线的标准方程 1 焦点在x轴上的双曲线 其中 焦点坐标为F1 c 0 F2 c 0 2 焦点在y轴上的双曲线 其中c2 a2 b2 焦点坐标为F1 0 c F2 0 c 3 中心在原点 焦点在x轴上的双曲线的参数方程 为参数 c2 a2 b2 x asec y btan 4 双曲线 a 0 b 0 的几何性质 1 范围 y R 2 对称性 对称轴x 0 y 0 对称中心 0 0 一般规律 双曲线有两条对称轴 它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线 x a 3 顶点 A1 a 0 A2 a 0 实轴长 虚轴长 一般规律 双曲线都有两个顶点 顶点是曲线与它本身的对称轴的交点 4 离心率e 双曲线的离心率在 1 内 离心率确定了双曲线的形状 5 渐近线 双曲线的两条渐近线方程为 双曲线的两条渐近线方程为 A1A2 2a B1B2 2b e 1 y x y x 双曲线有两条渐近线 他们的交点就是双曲线的中心 焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 公用渐近线的两条双曲线可能是 a 共轭双曲线 b 放大的双曲线 c 共轭放大或放大后共轭的双曲线 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时 只要令双曲线的标准方程中的 1 为 0 就得到两条渐近线方程 即方程就是双曲线的两条渐近线方程 题型一双曲线定义的应用 例1 已知双曲线 a 0 b 0 的焦点为F1 F2 弦AB过F1且端点在双曲线的一支上 若 AF2 BF2 2 AB 则 AB 等于 A 2aB 3aC 4aD 不能确定 C 由双曲线的定义 AF2 AF1 2a BF2 BF1 2a 所以 AF2 BF2 AF1 BF1 4a 即 AF2 BF2 AB 4a 又 AF2 BF2 2 AB 所以 AB 4a 故选C 本题主要应用双曲线定义转化双曲线上的点到两焦点之间的距离 半径不相等的两定圆O1 O2无公共点 动圆O与两定圆都内切 则圆心O的轨迹是 A 双曲线的一支B 椭圆C 双曲线的一支或椭圆D 抛物线或椭圆 若定圆O1 O2外离 则圆心O的轨迹为双曲线的一支 若定圆O1 O2内含 则圆心O的轨迹为椭圆 故选C C 题型二双曲线几何性质及应用 例2 如图 F1和F2分别是双曲线 a 0 b 0 的两个焦点 A和B是以O为圆心 以 OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 F2AB是等边三角形 则双曲线的离心率为 A B C D 1 D 连接AF1 由题意得 F1AF2 90 AF2F1 30 F1F2 2c AF1 c AF2 c 2a AF2 AF1 c c 则双曲线的离心率为e 1 故选D 本例主要应用双曲线的几何性质及离心率的求法 分析解决问题 已知F1 F2为双曲线 a 0 b 0 的焦点 过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P 且 PF1F2 30 则双曲线的渐近线方程为 y x 方法一 设F2 c 0 c 0 P c y0 则 解得y0 所以 PF2 在Rt PF1F2中 PF1F2 30 所以 F1F2 3 PF2 即2c 又c2 a2 b2 故有b2 2a2 所以 故所求双曲线的渐近线方程为y x 方法二 PF1 2 PF2 由双曲线的定义可知 PF1 PF2 2a 得 PF2 2a 因为 PF2 所以 2a 所以b2 2a2 所以 故双曲线的渐近线方程为y x 题型三求双曲线的标准方程 例3 根据下列条件 分别求出双曲线的标准方程 1 与双曲线有共同的渐近线 且过点 3 2 2 与双曲线有公共焦点 且过点 3 2 1 方法一 由双曲线的方程得a 3 b 4 所以渐近线方程为y x 当x 3时 y x 3 4 2 所以所求的双曲线的焦点在x轴上 设所求双曲线的方程为 a2 b2 4 所以所求双曲线的方程为 由题意 得 解得 方法二 双曲线的渐近线方程为y x 所以设所求双曲线的方程为 0 将点 3 2 代入得 故所求双曲线的方程为 即 2 方法一 设所求双曲线的方程为 由题意易求得c 2 又双曲线过点 3 2 所以 1 因为a2 b2 2 2 所以a2 12 b2 8 故所求双曲线的方程为 方法二 设所求双曲线的方程为 将点 3 2 代入得k 4 所以所求双曲线的方程为 待定系数法求双曲线方程最常用的设法 1 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为 t 0 2 若双曲线的渐近线方程为y x 则双曲线方程可设为 t 0 3 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为 b2 k a2 4 过两个已知点的双曲线方程可设为 mnb 0 共焦点的双曲线方程可设为 b2 k a2 合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程 提高解题速度 1 已知动圆M与圆C1 x 5 2 y2 49和圆C2 x 5 2 y2 1都外切 求动圆圆心M的轨迹方程 2 已知点P 0 6 与双曲线 a 0 b 0 的两个焦点的连线互相垂直 且与两个顶点连线的夹角为 求双曲线的方程 1 设动圆半径为R MC1 R 7 MC2 R 1 则 MC1 MC2 6 可知动点M的轨迹以C1 C2为焦点的双曲线的右支 其方程为 x 0 则 2 设F1 F2为双曲线的两个焦点 依题意 它的焦点在x轴上 因为PF1 PF2 且 OP 6 所以2c F1F2 2 OP 12 所以c 6 又P与两顶点连线夹角为 所以a OP tan 2 所以b2 c2 a2 24 故所求双曲线的方程为 1 题型四双曲线方程的综合应用 例4 已知双曲线的方程为 a 0 b 0 双曲线斜率大于零的渐近线交直线x c为半焦距 于P点 F c 0 为右焦点 1 求证 直线PF与渐近线l垂直 2 若 PF 的长是点F到直线l的距离 且 PF 3 双曲线的离心率e 求双曲线的方程 3 若延长FP交直线x 于M 交双曲线左支于N 且使M为PN的中点 求双曲线的离心率 1 证明 由已知 渐近线方程为l y x与直线x 联立求得P F c 0 所以kPF 所以kPF kl 1 即PF l 2 因为 PF 的长即F c 0 到l bx i 0的距离 所以 3 即b 3 又e 所以 所以a 4 故双曲线方程为 1 3 直线lPF的方程为y x c 它与直线x 的交点为M M是PN的中点 所以N 又N在双曲线上 所以 1 所以9 2 2 即9 2 e2 整理得e4 10e2 25 0 所以e 熟练掌握双曲线的几何性质及参数a b c e的关系是本例顺利求解的关键 已知椭圆C1的方程为 y2 1 双曲线C2的左 右焦点分别是C1的左 右顶点 而C2的左 右顶点分别是C1的左 右焦点 1 求双曲线C2的方程 2 若直线l y kx 2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B 且 2 其中O为原点 求k的取值范围 1 设双曲线C2的方程为 1 则a2 4 1 3 c2 4 再由a2 b2 c2 得b2 1 故C2的方程为 y2 1 2 将y kx 代入 y2 1 得 1 3k2 x2 6kx 9 0 由直线l与双曲线C2交于不同的两点 1 3k2 0 6k 2 36 1 3k2 36 1 k2 0 所以k2 且k2 1 得 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 x1x2 所以 x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 kx2 k2 1 x1x2 2k x1 x2 2 又因为 2 所以 2 即 0 解得 k2 3 综合 得k的取值范围为 1 1 1 a b c有关系式c2 a2 b2成立 且a 0 b 0 c 0 其中a与b的大小关系 可以为a b ab 2 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 六点 两个焦点 两个顶点 两个虚轴的端点 四线 两条对称轴 两条渐近线 两形 中心 焦点以及虚轴端点构成的三角形 双曲线上一点和两焦点构成的三角形 研究他们之间的相互联系 3 椭圆是封闭性曲线 而双曲线是开放性的 又双曲线有两支 故在应用时要注意在哪一支上 4 根据方程判定焦点的位置时 注意与椭圆的差异性 5 求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置 若不确定焦点的位置时 需进行讨论 或可直接设双曲线的方程为Ax2 By2 1 AB 0 6 与双曲线共渐近线的双曲线方程为 0 与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为 a2 且 b2 7 双曲线的形状与e有关系 k e越大 即渐近线的斜率的绝对值就越大 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知 双曲线的离心率越大 它的开口就越开阔 2009 山东卷 设双曲线 a 0 b 0 1的一条渐近线与抛物线y x2 1只有一个公共点 则双曲线的离心率为 D A B 5C D 双曲线的一条渐近线为y x y xy x2 1此方程有惟一解 所以 2 4 0 所以 2 则e 由方程组 消去y得x2 x 1 0 2009 陕西卷 已知双曲线C的方程为 a 0 b 0 离心率e 顶点到渐近线的距离为 1 求双曲线C的方程 2 如图 P是双曲线C上一点 A B两点在双曲线C的两条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 2 求 AOB面积的取值范围 方法一 1 由题意知 双曲线C的顶点 0 a 到渐近线ax by 0的距离为 所以 即 a 2 b 1c2 a2 b2c 5 所以双曲线C的方程为 x2 1 由 得 2 由 1 知 双曲线C的两条渐近线方程为y 2x 设A m 2m B n 2n m 0 n 0 由 得P点的坐标为 将P点坐标代入 x2 1 化简得mn 设 AOB 2 因为tan 2 所以tan sin2 又 OA m OB n 所以S AOB OA OB sin2 2mn 1 记S 1 2 则S 1 由S 0得 1 又S 1 2 S S 2 所以当 1时 AOB的面