第3章 动量和角动量.ppt

1 第三章动量和角动量 本章中心任务 研究力和力矩对时间的累积作用规律本章核心内容 动量定理和角动量定理 2 3 1冲量与动量定理 一 冲量 描写力对时间的累积作用 1 定义 2 性质 矢量 过程量 3 恒力的冲量 4 变力的冲量 在直角坐标系中 3 由牛顿第二定律 如考虑力在某段有限时间内的积累效果 则有 二 动量定理 1 定理内容 有 动量定理 合外力的冲量等于物体动量的增量 在直角坐标系中 4 对动量定理的理解 1 定理的优点 不必追究过程的细节 只需知道过程的始末状态 动量 就可求出力的冲量 2 定理是矢量式 冲量的方向与动量增量方向一致 3 动量定理适用于惯性系 始末动量必须对同一惯性系而言 3 平均冲力的概念 5 例一质量m 140g的垒球以v 40m s的速率沿水平方向飞向击球手 被击后它以相同速率沿 60o的仰角飞出 求垒球受棒的平均打击力 设球和棒的接触时间 t 1 2ms 解法一 用分量法 6 解法二 直接用矢量法 7 3 2质点系的动量定理 一 质点系的动量1 质点系 由若干质点组成的系统 2 内力 系统内各质点间的作用力 特点 成对出现 一对作用力和反作用力 3 外力 系统外的其它物体对系统内的物体的作用力 4 质点系的动量 二 两个质点组成的质点系动量定理 分别对两个质点列出牛顿第二定律 两式相加 8 三 质点系的动量定理 若干质点组成的体系 两两之间传递动量 第i个质点受力 将体系分为两部分 一部分称为系统 其余部分叫外部环境或外界 这时第i个质点受力 利用牛顿第三定律 所以系统内力之和 9 将系统看成整体 总动量 它受到的合力 即系统受到的合外力等于系统动量对时间的变化率 由 两边积分得 质点系的动量定理 质点系所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量 10 当系统所受的合外力为零 即 即系统受的合外力为零 系统总动量守恒 3 3动量守恒定律 应用动量守恒定律时注意几点 1 在外力比内力小得多的时候 外力对质点系的总动量影响很小 此时可以近似地应用动量守恒定律 即 当内力 外力时 略去外力 动量守恒 2 动量守恒定律适用于惯性系 11 3 动量守恒定律分量式 即 当某一方向外力为零时 该方向动量守恒 12 3 4火箭飞行原理 1 t时刻 火箭 燃料 M 它们对地面的速度为 2 经dt时间后 质量为dm的燃料喷出 在t dt时刻 火箭对地速度为 选向上为正方向 其相对火箭的喷出速度为u 系统总动量的大小为 选地面作参照系 忽略外力 火箭 利用燃料燃烧后喷出气体产生的反冲推力的发动机 13 火箭初始质量为m0 初速度 末速度为 末质量为m 则有 略去二阶小量 由于dm dM 代入上式有 根据动量守恒 可得 增大单级火箭的末速度的两种方法 一是增大喷出气体的相对速度 二是增大火箭的质量比 14 2 这对燃料的携带来说不合适 用多级火箭避免这一困难 1 化学燃料最大u值为 实际上只是这个理论值的50 这个u值比带电粒子在电场作用下获得的速度3 108m s小得多 由此引起人们对离子火箭 光子火箭的遐想 可惜它们喷出的物质太少 从而推动力太小 即所需加速过程太长 讨论 火箭的末速度与火箭的推力成正比 15 3 5质心 质心 质点系的质量中心 它是质点系中一个特殊的几何点 一 质点系的质心 C 质点系的质心 16 式中 1 质心位矢 是各质点的位矢以其质量为权重的平均 2 质心位矢 点系内各质点的相对位置不随坐标系的选择而变化 3 质心与重心 散布在地面上不大范围内的物体的重心恰好落在质心上 关于质心强调几点 4 直角坐标系中质心坐标表达式 与坐标系的选择有关 但质心相对于质 17 5 质量连续分布的物体质心位置的确定 设每一质元的质量为dm 位矢 则质心位矢 在直角坐标系中 6 质量均匀分布的 形状对称的物体的质心就在它们的几何对称中心 18 3 6质心运动定理 将质心位矢 对时间求一阶 二阶导数 得 质点系的总动量等于质点系内各质点的动量的矢量和 即 19 故质点系的总动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积 其方向与质心速度方向相同 将 代入牛顿第二定律 得 定理表明 如果将质点系的全部质量和外力平移到质心上 合成总质量M和合外力则质 质心参考系 质点系的质心在其中静止的平动坐标系 即有Vc 0 Pc 0 又叫零动量参考系 20 图3 17跳水运动员的运动 21 例题一根完全柔软的质量m均匀分布的绳子竖直地悬挂着 其下端刚刚与地面接触 让绳子从静止开始下落 求下落所剩长度为z时 地面对这根绳子的作用力 解法一 自始至终把绳子当作一质点系 当下落所剩长度为z时 绳子质心为 22 剩余部分绳子自由下落l z时的速度为 设地板此时对绳子的作用力为f 对整根绳子应用质心运动定理 则有 23 解法二 动量定理 剩余绳子的下落速度 紧靠地面的质元dm与地面相碰 动量由vdm变为零 设该质元受到的支持力为f1 则根据质点动量定理有 已落地部分所受到支持力为 24 例题光滑水平面上放有一质量为M的三棱柱体 其上又放一质量为m的小三棱柱体 它们的横截面都是直角三角形 M的水平直角边的边长为a m的水平直角边的边长为b 两者的接触面 倾角为 亦光滑 设它们由静止开始滑动 求当m的下边缘滑到水平面时 M在水平面上移动的距离 解由于水平方向受外力为零 故M与m组成的系统在水平方向动量守恒 设M和m的速度分别为vx和VX 则有 由于动量守恒定律只适用于惯性系 所有速度都要相对地面 25 设m相对斜面的下滑速度为v 则由相对速度的关系式有 将 2 代入 1 得 设m从顶端滑到地面所用时间为t 由 3 有 26 3 7质点角动量 一 质点的角动量 1 质点对O点的角动量 定义 称为一个质点对参考点O的角动量或动量矩 注意 1 L与参考点的选择有关 2 若参考点选在运动直线上 角动量为零 2 圆周运动的角动量如果质点圆周运动 则相对于圆心O的角动量为 大小 LO mvR方向 沿转轴 27 二 质点的角动量定理 1 力矩 受力点A相对于O点的位置矢量与力的矢积叫做力对O点的力矩 2 质点的角动量定理 角动量定理 质点所受的合外力矩等于它的角动量随时间的变化率 28 29 30 例题求自由下落质点的角动量 任意时刻t 有 1 对A点的角动量 2 对O点的角动量 31 二 质点系角动量守恒定律 若质点系所受外力矩为零 则质点系的角动量之矢量和守恒 若 3 8角动量守恒定律 一 两个质点的角动量守恒定律一个系统由两个质点组成 如果只受它们之间的相互作用 则这个系统的总角动量保持守恒 即 32 例题在光滑的水平面上 一根长L 2m的绳子 一端固定于O点 另一端系一质量m 0 5kg的物体 开始时物体位于位置A OA距