第2章 离散时间信号与系统的变换域分析.ppt

1 第2章离散时间信号与系统的变换域分析 重点 难点 Z变换 序列的傅立叶变换 离散系统变换域分析内容 2 0引言 2 1序列Z变换 2 2序列傅立叶变换 2 3 2 4离散时间系统变换域分析 2 2 0引言 信号与系统的分析方法有时域 变换域两种 一 时域分析法1 连续时间信号与系统 信号的时域运算 时域分解 经典时域分析法 近代时域分析法 卷积积分 2 离散时间信号与系统 序列的变换与运算 卷积和 差分方程的求解 3 二 变换域分析法1 连续时间信号与系统 信号与系统的频域分析 复频域分析 2 离散时间信号与系统 Z变换 DFT FFT Z变换可将差分方程转化为代数方程 4 2 1Z变换的定义及收敛域 一 Z变换 拉普拉斯变换 对采样信号进行拉普拉斯变换 5 Z变换定义 序列的Z变换定义如下 实际上 将x n 展为z 1的幂级数 6 二 收敛域1 定义 使序列x n 的z变换X z 收敛的所有z值的集合称作X z 的收敛域 2 收敛条件 X z 收敛的充要条件是绝对可和 7 3 一些序列的收敛域 1 预备知识阿贝尔定理 如果级数 在收敛 那么 满足0 z z 的z 级数必绝对收敛 z 为最大收敛半径 8 同样 对于级数 满足的z 级数必绝对收敛 z 为最小收敛半径 9 2 有限长序列 10 11 3 右边序列 第一项为有限长序列 第二项为z的负幂级数 12 收敛域 第一项为有限长序列 其收敛域为0 z 第二项为z的负幂次级数 由阿贝尔定理可知 其收敛域为Rx z 两者都收敛的域亦为Rx z Rx 为最小收敛半径 13 4 因果序列它是一种最重要的右边序列 由阿贝尔定理可知收敛域为 14 5 左边序列 15 第二项为有限长序列 其收敛域 第一项为z的正幂次级数 根据阿贝尔定理 其收敛域为 为最大收敛半径 16 双边序列指n为任意值时 x n 皆有值的序列 即左边序列和右边序列之和 6 双边序列 17 第二项为左边序列 其收敛域为 第一项为右边序列 因果 其收敛域为 当Rx Rx 时 其收敛域为 18 其收敛域应包括即充满整个Z平面 例2 1 求序列的Z变换及收敛域 解 这相当时的有限长序列 19 当时 这是无穷递缩等比级数 例2 2 求序列的Z变换及收敛域 解 20 收敛域一定在模最大的极点所在的圆外 收敛域 21 例2 3 求序列变换及收敛域 同样的 当 b z 时 这是无穷递缩等比级数 收敛 收敛域 收敛域一定在模最小的极点所在的圆内 22 2 3Z反变换一 定义 已知X z 及其收敛域 反过来求序列x n 的变换称作Z反变换 23 z变换公式 C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线 0 c 24 1 留数法由留数定理可知 为c内的第k个极点 为c外的第m个极点 Res 表示极点处的留数 二 求Z反变换的方法 25 2 当Zr为l阶 多重 极点时的留数 留数的求法 1 当Zr为一阶极点时的留数 26 例2 4 已知 解 1 当n 1时 不会构成极点 所以这时C内只有一个一阶极点因此 求z反变换 27 2 当n 2时 X z zn 1中的zn 1构成n 1阶极点 因此C内有极点 z 1 4 一阶 z 0为 n 1 阶极点 而在C外仅有z 4 一阶 这个极点 28 2 部分分式法有理式 数字和字符经有限次加 减 乘 除运算所得的式子 有理分式 含字符的式子做分母的有理式 或两个多项式的商 分子的次数低于分母时称为真分式 部分分式 把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和 使各分式具有或的形式 其中x2 Ax B是实数范围内的不可约多项式 而且k是正整数 这时称各分式为原分式的 部分分式 29 通常 X z 可表成有理分式形式 因此 X z 可以展成以下部分分式形式其中 M N时 才存在Bn Zk为X z 的各单极点 Zi为X z 的一个r阶极点 而系数Ak Ck分别为 30 的z反变换 例2 5 利用部分分式法 求 解 分别求出各部分分式的z反变换 可查P39表2 1 1 然后相加即得X z 的z反变换 31 32 3 幂级数展开法 长除法 因为x n 的Z变换为Z 1的幂级数 即所以在给定的收敛域内 把X z 展为幂级数 其系数就是序列x n 如收敛域为 z Rx x n 为因果序列 则X z 展成Z的负幂级数 若收敛域 Z Rx x n 必为左边序列 主要展成Z的正幂级数 33 例2 6 试用长除法求的z反变换 解 收敛域为环状 极点z 1 4对应因果序列 极点z 4对应左边序列 双边序列 双边序列可分解为因果序列和左边序列 应先展成部分分式再做除法 34 35 36 37 38 39 2 4Z变换的基本性质和定理如果则有 即满足均匀性与叠加性 收敛域为两者重叠部分 1 线性 40 例2 7 已知 求其z变换 解 41 2 序列的移位 如果则有 例2 8 求序列x n u n u n 3 的z变换 42 3 Z域尺度变换 乘以指数序列 如果 则 证明 43 4 序列的线性加权 Z域求导数 如果 则 证明 44 5 共轭序列 如果 则 证明 45 6 翻褶序列 如果 则 证明 46 7 初值定理 证明 47 8 终值定理 证明 48 又由于只允许X z 在z 1处可能有一阶极点 故因子 z 1 将抵消这一极点 因此 z 1 X z 在上收敛 所以可取z1的极限 49 9 有限项累加特性 证明 50 51 10 序列的卷积和 时域卷积定理 52 证明 53 例2 9 解 54 11 序列相乘 Z域卷积定理 其中 C是在变量V平面上 X z v H v 公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线 证明从略 55 例2 10 解 56 57 12 帕塞瓦定理 parseval 其中 表示复共轭 闭合积分围线C在公共收敛域内 证明从略 如果 则有 58 几点说明 59 2 5Z变换与拉氏变换 Z变换与拉氏变换的关系1 理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号 为其理想抽样信号 则 60 序列x n 的z变换为 考虑到 显然 当时 序列x n 的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换 61 2 Z变换与拉氏变换的关系 S Z平面映射关系 S平面用直角坐标表示为 Z平面用极坐标表示为 又由于所以有 因此 这就是说 Z的模只与S的实部相对应 Z的相角只与S虚部 相对应 62 0 即S平面的虚轴r 1 即Z平面单位圆 0 即S的左半平面r 1 即Z的单位圆内 0 即S的右半平面r 1 即Z的单位圆外 1 r与 的关系 63 0 S平面的实轴 0 Z平面正实轴 0 常数 S 平行实轴的直线 0T Z 始于原点的射线 S 宽的水平条带 整个z平面 0 jIm Z Re Z 2 与 的关系 T 64 3 Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后 其频谱产生周期延拓 即我们知道 傅氏变换是拉氏变换在虚轴S j 的特例 因而映射到Z平面上为单位圆 因此 这就是说 抽样 序列在单位圆上的Z变换 就等于理想抽样信号的傅氏变换 65 以后 用数字频率 作为Z平面的单位圆的参数 表示Z平面的辐角 且 66 1 正变换 2 反变换 2 6序列的傅立叶变换 是频率 的连续函数 且为周期函数 周期为2 67 所以 序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换 68 序列傅立叶变换的收敛条件 1 一致收敛条件 若满足绝对可和条件 则一致收敛 69 2 均方收敛 若序列不满足绝对可和条件 而满足以下的平方可和条件 则 序列绝对可和 则它一定是平方可和的 但平方可和的序列不一定绝对可和 也就是满足一致收敛就一定满足均方收敛 而满足均方收敛就不一定满足一致收敛 70 3 有些序列不满足一致收敛也不均方收敛 但是可以引入冲激函数 也可以求出它们的傅立叶变换 71 解 其中 72 73 幅度谱相位谱 74 由于序列为有限长序列 所以一定是绝对可和的 因而该矩形序列的傅立叶级数是一致收敛的 75 例2 求因果指数序列的傅立叶变换 讨论其收敛性 解 收敛条件 即 满足绝对可和 76 2 7序列傅立叶变换的性质 1 线性 77 2 序列的移位 78 3 频域的相移 79 4 序列的反褶 若 则 80 5 序列的共轭 81 6 微分性质 82 7 时域卷积定理 若 则 83 8 序列相乘 频域卷积定理 若 则 84 9 序列相关 若 则 85 10 巴塞伐尔定理 若 86 2 8周期序列的傅立叶变换 1 复指数序列的傅立叶变换 正变换 反变换 87 2 常数序列的傅立叶变换 设 则表示为 正变换 反变换 88 3 周期为N的抽样序列串的傅立叶变换 设周期为N的抽样序列串表示为 其傅立叶变换为 89 利用冲激函数的性质 上式可写成 90 91 92 2 9序列傅立叶变换的一些对称性质 一 共轭对称序列与共轭反对称序列1 共轭对称序列设一复序列 如果满足xe n xe n 则称序列为共轭对称序列 下面分析它们的对称关系 设序列其中分别表示的实部和虚部 对其两边取共轭 则再将 n代入 则根据定义 则这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列 偶函数 而虚部是奇对称序列 奇函数 特殊地 如是实序列 共轭对称序列就是偶对称序列 93 2 共轭反对称序列设一复序列 如果满足xo n xo n 则称序列为共轭反对称序列 同样有 根据定义 则 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列 奇函数 而虚部是偶对称序列 偶函数 特殊地 如是实序列 共轭反对称序列就是奇对称序列 94 二 任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和 95 96 三 序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和 其中 97 四 两个基本性质 证明 98 证明 99 五 序列的实 虚部与其傅氏变换偶 奇部的关系 1 序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部 证明 100 2 序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部 证明 101 六 序列的共轭对称 共轭反对称部分与其傅氏变换的实 虚部的关系 1 序列的共轭对称部分的傅氏变换等于其傅氏变换的实部 证明 102 2 序列的共轭反对称部分的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j 证明 103 七 序列为实序列的情况 104 105 106 8 实序列也有如下性质 107 线性移不变系统h n 为单位抽样响应 H z 称作线性移不变系统的系统函数 而且在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应 2 10离散系统的系统函数及频率响应 一 系统函数 108 我们知道 一线性移不变系统稳定的充要条件是h n 必须满足绝对可和 h n z变换H z 的收敛域由满足 h n z n 的那些z值确定 如单位圆上收敛 此时则有 h n 即系统稳定 也就是说 收敛域包括单位圆的系统是稳定的 因果系统的单位抽样响应为因果序列 其收敛域为R z 而因果稳定系统的系统函数收敛域为1 z 也就是说 其全部极点必须在单位圆内 二 因果稳定系统 109 三 系统函数和差分方程的关系 线性移不变系统常用差分方程表示 取z变换得 对上式因式分解 令 得 110 四 系统的频率响应的意义系统的单位抽样响应h n 的傅氏变换也即单位圆上的变换称作系统频率响应 也就是说 其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积 对于线性移不变系统 111 五 频率响应的几何确定 1 频响的零极点表达式 112 模 相角 113 2 几点说明 1 表示原点处零极点 它到单位圆的距离恒为1 故对幅度响应不起作用只是给出线性相移分量 N M 2 单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响 当零点位于单位圆上时 谷点为零 零点可在单位圆外 3 单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度有明显影响 极点在圆外 系统不稳定 114 零点在单位圆上0 处 极点在 处 115 例2 14 设一阶系统的差分方程为 解 对差分方程两边取Z变换 a为实数 求系统的频率响应 116 这是一因果系统 其单位抽样响应为而频率响应为 幅度响应为 相位响应为 117 零极点分布情况 0 0 1 0 a 1 118 六 IIR系统和FIR系统 1 无限长单位冲激响应 IIR 系统如果一个离散时间系统的单位抽样响应h n 延伸到无穷长 即n 时 h n 仍有值 这样的系统称作IIR系统 119 2 有限长