离散信号与系统Z域分析-8.ppt

1 F z 称为序列f k 的像函数 f k 称为函数F z 的原函数 它们间的关系记作 8 1离散信号的Z变换 一 Z变换的定义 第八章离散信号与系统Z域分析 当序列f k 不满足绝对可和条件时 可采取给f k 乘以因子r k k为实常数 的办法 得到一个新的序列f k r k 使其满足条件 则其傅里叶变换就存在了 r k称为收敛因子 f k r k的离散傅里叶变换为 引入一个新的变量z rej 对于离散时间信号f k 其Z变换定义为 2 对于因果序列 它的双边Z变换和单边Z变换是相等的 F z 是关于z 1的幂级数 z k的系数是f k 在连续时间信号的变换域分析中 当复变量s的实部为零时 拉普拉斯变换就演变为傅里叶变换 在复平面上 在虚轴j 上的拉氏变换就是傅氏变换 将双边Z变换的定义式展开 上述定义的Z变换称为双边Z变换 如果仅考虑k 0时的序列f k 值 则可定义单边Z变换为 在离散时间信号的变换域分析中 当z的模为1时 Z变换就演变为离散傅里叶变换 在复平面上 半径为1的圆上的Z变换就是离散傅氏变换 3 二 收敛域 ROC 对于任意给定的有界序列f k 能使收敛的所有z值的集合称为Z变换f z 的收敛域 例 F z 是z 1的无穷幂级数 该级数收敛的充分必要条件是 当 az 1 1时幂级数收敛 即Z变换的收敛域为 4 例 例 收敛域为 收敛域为 例 结论 1 收敛域取决于f k 和z平面取值范围 2 收敛域内不包含任何极点 以极点为边界 3 双边Z变换F z 与f k 没有一一对应 4 有限长序列收敛域至少为 0R1的圆外 6 左边序列收敛域为 z R2的圆内 7 双边序列收敛域为R1 z R2的圆环 收敛域为 6 三 常用信号的Z变换 1 单位序列 k ROC为整个Z平面 4 左序列 akU k 1 2 单位阶跃序列U k ROC为 z 1的单位圆外 3 单边指数序列akU k 5 复指数序列ejbkU k ROC为 z a 的圆外 ROC为 z a 的圆外 ROC为 z 1的单位圆外 7 对连续时间信号f t 以时间间隔T进行理想抽样 四 拉氏变换与Z变换关系 取一新的复变量z 令 复变量z与s的关系为 对fs t 进行双边拉普拉斯变换 则 于是有 8 可得s平面与z平面的映射关系 由 s平面的原点 0 0 映射为z平面z 1 r 1 0 的点 s平面的左半平面 0 映射为z平面的单位圆外 r 1 s平面的虚轴 0 映射为z平面的单位圆 r 1 s平面的实轴 0 映射为z平面的正实轴 0 s平面过j 2n 1 0 2的各条平行线 映射为z平面上的负实轴 注意 z s映射不是单值的 9 1 线性特性 表现为叠加性和齐次性 则 其中 a b为任意常数 收敛域为两个函数收敛的公共部分 8 2Z变换的基本性质 若 例 解 10 2 移位性 1 双边Z变换 k域移位 m z域乘z m 收敛域不变 2 单边Z变换 若f k U k F z z r 则当f k 为双边序列时 有 则当f k 为因果序列时 有 11 单边Z变换在0 的k域进行 它先移位 后舍去k 0部分 移位后的序列f k m U k f k m U k 比序列f k U k 长度有所增减 证明 设f k 为双边序列 由单边Z变换定义可得 12 例 求下列序列的Z变换 解 推广 13 3 z域尺度变换性 例 则 解 14 4 Z域微分性 推广 则 例 解 15 5 Z域积分性 式中m为整数 k m 0 当m 0时 有 例 解 16 例 6 时域折叠性 则 7 时域卷积定理 收敛域为两个函数收敛的公共部分 解 17 8 时域部分和 收敛域为 z 1与r1 z r2的公共部分 9 初值定理 设f k 为右序列 f k F z 且m n 则 10 终值定理 设f k 为右序列 f k F z 则 终值存在的条件 F z 的极点必须在单位圆内 如果单位圆上有极点 该极点只能是z 1 且是一阶的 18 例 设序列f k 的Z变换为 求f 0 f 1 f 解 根据初值定理 根据终值定理 19 8 3Z反变换 Z变换 Z反变换的计算方法 幂级数展开法 部分分式展开法 留数法 Z反变换 一 幂级数展开法 根据Z变换的定义 只要在给定的收敛域内将F z 展开成z 1的幂级数 则级数的系数就是序列f k 相应值 方法 将F z 的分子和分母按z的幂次序排列后长除 20 例 求下列函数的z反变换 右序列 收敛域为 z a0 将F z 以z的降幂排列 然后进行长除 左序列 收敛域为 z a0 将F z 以z的升幂排列 然后进行长除 解 1 降幂长除 可得 则 21 为左序列 升幂长除 可得 则 22 二 部分分式展开法 将F z 展开成若干简单的部分分式之和的形式 然后分别求出各部分分式的Z反变换 最后根据Z变换的线性性质将各反变换相加得到原序列f k 即 通常序列的Z变换是z的有理分式 一般可表示为 p0 0 z a 则Z反变换为 23 例 解 24 可得 于是可得 25 即 如果F z 在z p1 a处有r阶重极点 其余均为单极点 则F z z可展开成 其中 则Z反变换为 26 例 解 27 三 围线积分法 留数法 对于右序列 在F z zk 1的收敛域内 选择一条包围坐标原点的逆时针方向的围线C F z zk 1的全部极点都在积分路线的内部 围线积分等于围线C内所有极点的留数之和 单阶极点 r重极点 对于左序列 在F z zk 1收敛域内选围线C 求C外所有极点的留数之和 28 例1 解 右序列 k 0 F z zk 1极点有4个 p1 0 p2 1 p3 2 p4 3 各极点的留数为 29 右序列 k 0 F z zk 1极点有3个 p1 1 p2 2 p3 3 各极点的留数为 30 例2 解 1 k 0 F z zk 1极点有三个 p1 0 p1 p2 1 各极点的留数为 k 0 F z zk 1的极点有2个 p1 p2 1 其留数为 31 例3 解 F z zk 1极点有两个 p1 j2 p1 j2 各极点的留数为 32 8 4利用Z变换求解离散系统的响应 对上式取Z反变换 即得零输入响应 一 零输入响应Z域求解 对差分方程两边进行单边Z变换 并用移位性质 得 即 对于线性时不变离散系统 在零输入下 其差分方程为 33 例 已知某线性时不变系统的差分方程为 y k 5y k 1 6y k 2 0初始状态y 1 4 y 2 1 求零输入响应y k 解 进行部分分式展开 对差分方程两边进行单边Z变换 得 整理 得 取Z反变换得零输入响应为 34 二 零状态响应Z域求解 如果f k 是在k 0加入系统 系统的初始状态y i 0 m i 1 对差分方程两边取单边Z变换 得 n阶线性时不变离散系统的差分方程为 即 令 则 对上式取Z反变换 即得零状态响应 35 例 某线性时不变系统数学模型如下 y k 5y k 1 6y k 2 f k 且k 0 y k 0 f k 4kU k 求y k 解 激励的像函数为 对差分方程两边进行单边Z变换 得 即 则 取Z反变换得零状态响应为 36 解 3 全响应Z域求解 即 例 某线性时不变系统数学模型如下 y k 5y k 1 6y k 2 f k 且y 1 4 y 2 1 f k 4kU k 求全响应y k 对差分方程两边进行单边Z变换 得 则 取Z反变换得全响应为 37 二 H z 的物理意义 8 5Z域系统函数H z 一 定义 零状态响应象函数 即 激励为zk时 H z 为系统零状态响应的加权函数 对于线性时不变差分方程 系统函数 系统函数只与差分方程的系数有关 即只与系统的结构和参数有关 与激励无关 激励信号象函数 系统函数为单位序列响应的Z变换 38 三 H z 的求法 3 已知系统的差分方程 则对方程两边取Z变换即得H z 4 已知激励和其零状态响应 则通过两者的Z变换之比求 解 1 已知系统的单位序列响应h k 则对h k 取Z变换就H z 5 已知系统的时域或Z域模拟图 信号流图 则可由梅森公式求H z H z H E E z 2 已知系统的传输算子H E 则 39 四 系统函数H z 的应用 3 求系统零输入响应yx k 特征根 yx k 2 求系统零状态响应yf k 1 求系统单位序列响应h k 4 求系统差分方程 5 求系统的模拟图 差分方程 6 进行系统的稳定性判别 7 对稳定系统进行频率特性分析 8 求稳定系统的正弦稳态响应 9 求系统的零极点分布图 进而研究与其有关的特性 40 例 某离散时间系统的Z域模拟图如图所示 1 求系统函数H z 2 求单位序列响应h k 3 求时的零状态响应y k 解 1 由模拟图可得 则系统函数为 2 对系统函数求Z反变换 则单位序列响应为 3 当激励时 有 则零状态响应为 41 例 某离散系统的系统函数为 直接型 由H z 直接根据梅森公式模拟 试分别画出直接型 级联型和并联型的模拟图 解 级联型 将H z 分解为多个简单因式的乘积 42 级联模拟图 并联型 H z 分解为多个简单因式的之和 43 8 6H z 的零 极点分布对系统特性的影响 系统函数 将系统函数进行部分方式展开 z1 z2 zm 系统函数的零点 极点决定系统的固有频率或自然频率 零 极点决定系统时域特性 一 由H z 的零 极点分布确定单位序列响应特性 p1 p2 pn 系统函数的极点 取Z反变换得 44 极点对h k 的影响 45 1 若H z 的所有极点位于z平面单位圆内 即 z 1 h k 随k增大而指数衰减 k 时 h k 0 h k 是绝对可和的 极点对h k 的影响 2 若H z 在单位圆上有单阶极点 而其他极点在单位圆内时 即 z 1 h k 随k增大逐渐稳定在某一有限范围内变化 h k 不绝对可和 3 若H z 在单位圆外存在极点 或在单位圆上有重极点时 h k 随k增大而增大 当k 时 h k h k 不绝对可和 46 1 因果性 1 如果离散LTI系统的系统函数H z 的收敛域为圆外 而且包括无限远处 那么该系统为因果系统 系统稳定的条件 H z 极点全部位于z平面单位圆内 即H z 的分母的根的模都小于1 二 H z 的零 极点分布与系统的因果性和稳定性 2 如果离散LTI系统的系统函数H z 为关于z的多项式之比 而且分子阶次不大于分母阶次 那么该系统为因果系统 2 稳定性 离散LTI系统为稳定系统的充分必要条件是单位序列响应绝对可和 即 M为有限正数 三 H z 零 极点分布与系统的频域特性 稳定离散LTI系统的频率特性的定义 离散系统频域特性函数H ej 与单位序列响应h k 是一对离散傅里叶变换 DTFT 即 离散系统Z域系统函数H z 与单位序列响应h k 是一对Z变换 所以 可见 通常H ej 是一复数 因此 H ej 是离散系统的幅频特性 是相频特性 48 与连续系统类似 也可以用系统函数H z 在z平面上零 极点的分布 通过几何方法简便直观地求出离散系统的频域特性 于是 49 例 某离散时间系统的Z域模拟图如图所示 求该系统的频率特性 解 由模拟图可得 由于系统函数的极点全部在单位圆内 系统稳定 所以系统的频率特性为 则幅频特性为 相频特性为 50 四 H z 与系统的正弦稳态响应 稳定系统在复指数序列ej k和e j k作用下的稳态响应分别为 系统在正弦序列作用下的稳态响应为 实际离散系统的单位序列响应为实数序列 所以H ej 满足共轭对称性 即 51 例 已知某离散系统的系统函数为 解 因H z 收敛域 z 0 5 包括单位圆 系统稳定 因此有 试求激励f k 10cos 628Tk 30 T 10 3s时系统正弦稳态响应 将 628T 0 628代入上式 得 所以当激励f k 10cos 628Tk 30 时 系统正弦稳态响应为 52 8 7用朱利 Jury 准则判断离散系统的稳定性 将A z 的系数列表 朱利阵列 并计算 系统函数 其分母通常为 第1行是A z 的系数 第2行是A z 系数的反序排列 第3行按下式计算 53 即各奇数行的第一个系数必须大于该行最后一个系数的绝对值 朱利准则 A z 的所有根都在单位圆内的充分必要条件是 第4行为第3行系数的反序排列 第5行由第3 4行按类似方法求出 这样求出的两行系数比前两行的系数少一项 以此类推 直到第2n 3行 这样 根据朱利准则便可判断H z 的极点是否全部在单位圆内 从而判断系统是否稳定 54 解 根据梅森公式 为使极点在单位圆内 必须 由于n 2 不必列朱利阵列 而且满足 可得 3 4 K 3 4时 系统是稳定的 例 如图所示为一离散时间系统 问当K满足什么条件时系统是稳定的 55 解 由Jury准则 可判断A z 0根 即系统函数的极点分布在z平面单位圆内 故系统为稳定系统 例 已知H z 如下 判断系统稳定与否 故系统为稳定系统 56 解 由Jury准则 可判断A z 0根 即系统函数的极点分布在z平面单位圆内 故系统为稳定系统 例 已知H z 如下 判断系统稳定与否 故系统为不稳定系统 A 1 0 0 a3 a0 57 本章要点 1 Z变换 定义 存在条件 收敛域 单边Z变换基本性质 常用信号